10行代码，带你理解自然底数e、自然指数ln

引言

我们知道，e是一种常数，和π\piπ类似，都是一种被计算出来的常数，在实际中具有非常广泛的应用。

基于自然底数e，我们常常会用到自然指数exe^xex，自然对数ln(x)ln(x)ln(x)，但你知道e是怎么来的吗？

自然底数e

（图片来源于¹）

一种直观的理解方式是：π\piπ是周长和直径之比，e是连续增长过程的增长单位。

每当系统呈指数和持续增长时，就可以用自然底数e来近似，比如人口增长、放射性衰变、利息计算²等等。

e的数学计算公式（一）：

e=lim⁡n→∞(1+1n)1∗ne = \lim_{n→∞}{(1+\frac{1}{n})^{1*n}} e=n→∞lim(1+n1)1∗n

e可以用来表达一种持续增长的完美复利情况。¹

假如有一个投资的收益率为100%，结算时间为1/n个单位时间，即每1/n个时间单位就按照(1+1n)(1+\frac{1}{n})(1+n1)进行增长，那么在结算时间最短的情况下，最大收益水平近似为e=2.7182818……。

ps.实际银行存款是按年结算，而非持续增长，以收益率3%为例，1年后的本金加利息为(1+r)*1 = 1.03。

用python的sympy科学计算库，可以实现函数求极限，我们来计算一下公式（一）：

import numpy as np
import sympy
from sympy import oo #表示无穷大n=sympy.Symbol('n')
y=(1+1/n)**n
result = sympy.limit(y,n,oo)
print("%.10f"%result)

输出的值就是e，打印：2.7182818285（小数点后10位）

e的数学计算公式（二）：

e=∑n=1∞1n!=1+11!+12!+13!+...e = \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n!} =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+... e=n=1∑∞n!1=1+1!1+2!1+3!1+...

这个公式可以看作初始本金1，加上每一份利息及利息继续投入的资金增长量（假设是连续复利）¹。

单位时间x之后，增加利息∫1dx=x\int{1}dx = x∫1dx=x。

利息xxx又挣了∫xdx=12x2\int{x}dx = \frac{1}{2}x^2∫xdx=21x2。

利息12x2\frac{1}{2}x^221x2挣了13!x3\frac{1}{3!}x^33!1x3的利息，依此类推。

用python的sympy科学计算库对公式（二）进行计算，代码如下：

import sympy
from sympy import oon=sympy.Symbol('n')
result = sympy.summation(1/sympy.factorial(n),(n,0,oo))

sympy.factorial(n)表示阶乘，sympy.summation为求和表达式。
输出值，依旧是：2.7182818285……

因此，e可以非常方便地表达持续复合增长水平。

自然指数exp(x)

自然指数exe^xex，常常被写作exp(x)，具有很多神奇的性质。

比如自然指数的导数等于自然指数本身：
d(ex)dx=ex\frac{d(e^x)}{dx} = e^x dxd(ex)=ex
自然指数exp(x)可以用来反映：在持续增长单位时间x之后的增长水平。
ex=erate∗timee^x = e^{rate * time} ex=erate∗time
比如连续增长率为5%，那么3个时间单位之后的增长水平为：e0.05∗3≈1.1618e^{0.05*3} ≈ 1.1618e0.05∗3≈1.1618，即3个时间单位后增长为原来的1.16倍。

自然对数ln(x)

自然对数ln(x)可以用来反映：达到一定增长水平所需的时间。³

ln(1)=0ln(1)=0ln(1)=0，从1增长到1，很显然所需的时间为0。

ln(10)=2.302585092994046ln(10)=2.302585092994046ln(10)=2.302585092994046，如果持续复合增长率为100%，则所需时间单位为2.3。

对数的乘法又可以分解为两个因子的加法。比如ln(10)=ln(2∗5)=ln(2)+ln(5)ln(10)=ln(2*5)=ln(2)+ln(5)ln(10)=ln(2∗5)=ln(2)+ln(5)。

如果想要达到10倍的增长，持续复合增长率为100%，可以直接用2.3个时间单位（ln(10)≈2.3ln(10)≈2.3ln(10)≈2.3），也可以分为2步：先增长0.69个时间单位（ln(2)≈0.69ln(2)≈0.69ln(2)≈0.69）达到2倍，然后再持续增长1.61个时间单位（ln(5)≈1.61ln(5)≈1.61ln(5)≈1.61）增长5倍。

import mathmath.log(np.e)
#[out]:1.0math.log(10)
#[out]:2.302585092994046

math.log默认底数为e，如果求其他底的对数，可以用math.log(x,base)进行求解⁴。

小结

自然指数exp(x)可以反映：在单位时间x之后的持续增长水平。

自然对数ln(x)可以反映：达到一定增长水平所需的时间。

下一篇，将对比自然指数跟实际投资收益之间的区别，敬请关注。

https://betterexplained.com/articles/definitions-of-e-colorized/ ↩︎ ↩︎ ↩︎
https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ ↩︎
https://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ ↩︎
https://www.runoob.com/python/func-number-log.html ↩︎