一、自然底数的定义

在极限章节的第一节中，我们讨论了银行利息问题，发现函数f(x)=(1+1/x)xf(x)=(1+1/x)^xf(x)=(1+1/x)x在x→+∞x\rightarrow+\inftyx→+∞趋近于一个约为2.72.72.7的数。我们定义这个数为自然底数，符号记作eee，即e=lim⁡x→+∞(1+1x)x=lim⁡x→0+(1+x)1/xe=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\left(1+\frac1x\right)^x}=\lim_{{x\rightarrow0}^+}{(1+x)^{1/x}}e=x→+∞lim(1+x1)x=x→0+lim(1+x)1/x这就是自然底数的定义。

有了自然底数便有自然对数ln⁡\lnln：ln⁡x=log⁡ex\ln x=\log_exlnx=logex

二、等价法中的自然底数

在极限章节的等价法中，我们提到ex−1e^x-1ex−1与ln⁡(x+1)\ln{(x+1)}ln(x+1)均为xxx的等阶无穷小，下面我们来体会一下。lim⁡x→0ex−1x=lim⁡x→0[(1+x)1/x]x−1x=1+x−1x=1\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}x}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\left[(1+x)^{1/x}\right]^x-1}x}=\frac{1+x-1}x=1x→0limxex−1=x→0limx[(1+x)1/x]x−1=x1+x−1=1又因为eln⁡(x+1)−1=xe^{\ln{(x+1)}}-1=xeln(x+1)−1=x，所以lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=1\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\ln{(x+1)}}x}=1limx→0xln(x+1)=1。

上面这个证明方法非常不严谨，因为将eee定义中的xxx与极限式的xxx混为一谈了，实际为两个独立的变量。在积分那一章中会讲述eee的另外一个定义以及更严谨的证明方法。

三、与自然底数相关的公式

exe^xex的麦克劳林展开：ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)e^x=1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+o(xn)

ln⁡(x+1)\ln{(x+1)}ln(x+1)的麦克劳林展开：ln⁡(x+1)=x−x22+x33−x44+⋯+(−1)n−1⋅xnn+o(xn)\ln{(x+1)}=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\dots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}n+o(x^n)ln(x+1)=x−2x2+3x3−4x4+⋯+(−1)n−1⋅nxn+o(xn)

利用这两个麦克劳林展开也可以证明ex−1e^x-1ex−1、ln⁡(x+1)\ln{(x+1)}ln(x+1)为xxx的等阶无穷小，因为ex−1=x+o(x)e^x-1=x+o(x)ex−1=x+o(x)，ln⁡(x+1)=x+o(x)\ln{(x+1)}=x+o(x)ln(x+1)=x+o(x)。

麦克劳林展开会在求导章节中具体阐述。

四、自然底数的重要意义

自然底数的意义就在于对对数的简化。任何对数都能化为自然对数，即log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}logax=lnalnx并且自然对数在求导时非常简洁ddxln⁡x=1x\frac{\rm d}{{\rm d}x}\ln x=\frac1xdxdlnx=x1eee的幂函数在求导也很简洁ddxex=ex\frac{\rm d}{{\rm d}x}e^x=e^xdxdex=ex同时，自然底数还应用与欧拉公式eix=isin⁡x+cos⁡xe^{ix}=i\sin x+\cos xeix=isinx+cosx因此，自然底数具有不可替代的价值。

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文章目录

一、自然底数的定义

二、等价法中的自然底数

三、与自然底数相关的公式

四、自然底数的重要意义

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