线性代数之从线性方程组看线性组合
前言:
对于一个线性方程组,我们可以通过画出每条方程所代表的曲线,所有曲线的交点就是该线性方程组的解。这种做法可以看做是对矩阵方程Ax = b 的行解法。如果从列的角度看,就是线性组合了。
例如线性方程组:
写成矩阵的形式就是:
即 Ax = b
行图像:
首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线:
很显然,我们可以看到该方程组的解是(1,2)。这种解法就是从A矩阵的行的角度来分析的。矩阵A每一行都可以画出一条直线,所有直线的交点就是方程组的解。
列图像:
现在我们从列的角度来分析。事实上,我们可以将上面的矩阵方程拆成下面这样:
如何理解这个方程呢?
我们可以把 , 和 看成向量。所以这里想用和这两个向量来制造出向量。如果从坐标中理解就是:
可以看到,要制造出向量,需要1个 和 2个 ,也就是x = 1, y = 2。
以前学习直角坐标系的时候,我们知道任意的二维向量都可以用 和 这两个基坐标来组合得到,这其实就是线性组合了。只不过现在我们把基坐标换成了和,只要在二维平面内,都可以用这两个向量组合出任意的向量,在这里我们把这两个向量叫做基底。
当然,要能够组合出任意的向量,和 必须不在同一条直线上,这个从图上看很显然。
对于n维向量也是同样的道理,只是比较抽象,没办法用坐标来表示。
利用线性组合求解矩阵与向量的相乘:
有了线性组合的这种想法,在解A*b这种结构的矩阵相乘时就可以利用线性组合的想法了。例如:
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