线性代数2：线性方程组与矩阵表示

在基础代数和解析几何里，我们已经遇到过两个未知量的线性方程组。

例：

$\begin{align*} 4x_1-5x_2&=-13\\ -2x_1+3x_2&=9 \end{align*}$

这个线性方程组有两个方程和两个未知量，有唯一解（并非所有线性方程组都有唯一解）。

如果采用矩阵的表示方法，我们可以将其写成

$Ax=b$

其中

$A=\left( \begin{array}{cc} 4 & -5\\ -2 & 3\\ \end{array} \right),\quad b=\left( \begin{array}{c} -13\\ 9\\ \end{array} \right).$

线性方程组的一般形式是：

$\begin{align*} &a_{11}x_1+a_{11}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ &\cdots\\ &a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{align*}$

其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 代表未知量， $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 代表未知数的系数， $b_1,b_2,\cdots,b_m$ 代表常数项，可以将方程组简写为 $Ax=b$

其中 $m$ 和 $n$ 都是正整数，用 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 表示实数域上的一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

矩阵中元素 $a_{ij}\in\mathbb{R}$ 的第一个下标代表其所在的行数，第二个下标代表列数。因此， $a_{3,2}$ 表明该元素位于上述矩阵中的第三行第二列。

$x=\left( \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array} \right),\quad b=\left( \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n}\end{array} \right)$

$x\in \mathbb{R}^n$ 和 $b\in \mathbb{R}^n$ 都是 $n$ 维向量，也可以将它们看作是 $n$ 行 $1$ 列的矩阵，所以 $x\in \mathbb{R}^{n \times 1},b\in \mathbb{R}^{n \times 1}$ .

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