计算几何之多边形重心

啥叫重心？

我把它抽象的理解为几个顶点均分权重。三个点及以上才能构成一个简单的平面多边形，三角形是最简单的多边形。三角形的重心就是三个顶点均分权重。

三角形重心

通过一个三角形重心公式来看多边形重心公式，若一个三角形有三个点，分别为（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，那么三角形的重心公式为：
x=x1+x2+x33,y=y1+y2+y33x=\frac{x1+x2+x3}{3}, y=\frac{y1+y2+y3}{3}x=3x1+x2+x3,y=3y1+y2+y3
每个点的横权值相加除以3，每个纵权值相加除以3。

多边形重心

现在我们有一个五边形，有5个点，其中S1为三角形△ABC的面积，同理有S2，S3。

先给出它的重心公式：
x=(x1+x2+x3)s1+(x1+x3+x4)s2+(x1+x4+x5)s33(s1+s2+s3)x=\frac{(x1+x2+x3)s1+(x1+x3+x4)s2+(x1+x4+x5)s3}{3(s1+s2+s3)}x=3(s1+s2+s3)(x1+x2+x3)s1+(x1+x3+x4)s2+(x1+x4+x5)s3
y=(y1+y2+y3)s1+(y1+y3+y4)s2+(y1+y4+y5)s33(s1+s2+s3)y=\frac{(y1+y2+y3)s1+(y1+y3+y4)s2+(y1+y4+y5)s3}{3(s1+s2+s3)}y=3(s1+s2+s3)(y1+y2+y3)s1+(y1+y3+y4)s2+(y1+y4+y5)s3
相当于求出三个三角形的重心，再根据三角形的面积去均分权重。相同的道理，可以画一画六边形，七边形，是一样的道理。
所以给出n边形重心公式：
x=∑i=1n−2si∗(以si为面积的三个点横坐标之和)3∑i=1n−2six=\frac{ \sum_{i=1}^{n-2}s_i*(以s_i为面积的三个点横坐标之和) }{3\sum_{i=1}^{n-2}s_i}x=3∑i=1n−2si∑i=1n−2si∗(以si为面积的三个点横坐标之和)
y=∑i=1n−2si∗(以si为面积的三个点纵坐标之和)3∑i=1n−2siy=\frac{ \sum_{i=1}^{n-2}s_i*(以s_i为面积的三个点纵坐标之和) }{3\sum_{i=1}^{n-2}s_i}y=3∑i=1n−2si∑i=1n−2si∗(以si为面积的三个点纵坐标之和)
就是酱紫，是不是很好理解0.0
Tip:计算三角形面积最好使用叉积，海伦公式会损失太多精度。给一下三角形叉积求三角形的公式。但在计算叉积时取点要注意，一定要按逆时针连图，顺时针计算的结果是负的，友情提示，不要加绝对值（会损失精度）。假如三角形有三个点A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)，公式为：
S=(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)2S=\frac{(x2-x1)(y3-y1) - (y2-y1)(x3-x1)}{2}S=2(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)
这个公式是要加绝对值的，但在计算重心时，别加。
贴个题目：
hdu1115 Lifting the Stone
这题就不能加绝对值…跟着公式敲就行

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define lson rt<<1, l, mid
#define rson rt<<1|1, mid+1, r
#define PI 3.1415926
using namespace std;
typedef long long ll;
//叉积求面积
double getarea(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3) {return ((x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1)) / 2;
}
int main() {fioint t, n; cin >> t;double x1, y1, x2, y2, x3, y3, ansx, ansy, allarea, area; while(t--) {ansx = 0; ansy = 0; allarea = 0;cin >> n;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;for(int i = 2; i < n; ++i) {cin >> x3 >> y3;area = getarea(x1, y1, x2, y2, x3, y3);cout << area << endl;allarea += area;ansx += (x1+x2+x3) * area;ansy += (y1+y2+y3) * area;x2 = x3; y2 = y3;}printf("%.2lf %.2lf\n", ansx / allarea / 3.0, ansy / allarea / 3.0);}return 0;
}