【题解】P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G

单调队列优化DP

题目

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，Farm John变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，Farm John希望能够再次夺冠。

然而，Farm John的草坪非常脏乱，因此，Farm John只能够让他的奶牛来完成这项工作。Farm John有N(1 <= N <= 100,000)只排成一排的奶牛，编号为1...N。每只奶牛的效率是不同的，奶牛i的效率为E_i(0 <= E_i <= 1,000,000,000)。

靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果Farm John安排超过K只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对:)。因此，现在Farm John需要你的帮助，计算FJ可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过K只奶牛。

一句话题意

对于一个n个元素的序列，选择一些元素使得连续的k+1个元素中至少有一个被选中，求未选择元素权值和最大的方案

做法

正难则反，考虑未选择的奶牛权值和最大即相当于考虑选择的奶牛权值和最小。

设dp[i] 表示在第1到i头奶牛中选择第i头奶牛的合法方案的最小权值和则有dp[i] = min\lbrace dp[j] \rbrace + a[i] \quad (i - j \leq k+1, j < i )dp[i]=min{dp[j]}+a[i](i−j≤k+1,j<i)我们发现这可以用单调队列维护 dp[i]dp[i] 最小，如果队列最前的元素到当前元素距离超过 k+1k+1则弹出，添加元素到队尾时若队尾元素dp值大于当前元素dp值则弹出。（比你小还比你强你就退役······）

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int Read(){int s = 0 , w = 1;char ch = getchar();while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0';ch = getchar();}return s * w;
}
const int MAXN = 1e5 + 50;
#define int long long
int n,k,a[MAXN],ans,sum,dp[MAXN],l,r,q[MAXN*2];
#undef int
int main(){n = Read() , k = Read();for(int i = 1 ; i <= n ; i++){a[i] = Read();sum += a[i];}dp[0] = 0;q[1] = 0;l = 0 , r = 0;for(int i = 1 ; i <= n + 1 ; i++){while(l < r && q[l] + k + 1 < i) l++;dp[i] = dp[q[l]] + a[i];while(l < r && dp[i] <= dp[q[r]]) r--;q[++r] = i; }cout << sum - dp[n+1] << endl;return 0;
}