投影矩阵网上推导一大堆，怎么构建矩阵，怎么运用透视除法等都有说，但说清楚为什么这样做的貌似不多。我现在尝试用矩阵乘法的本质去说明投影矩阵是怎么推导的。

以下向量统一用列向量表示法。

1.坐标转换

坐标的表达形式（Fundamentals of Computer Graphics, 4th page 135）

看上图，p在世界坐标系下的坐标值有两种表示法：

$p=o+x_{p}x+y_{p}y$

$p=e+u_{p}u+v_{p}v$

其中：

$(x_{p},y_{p})=(2.5,0.9)$

$(u_{p},v_{p})=(0.5,-0.7)$

u，v是e坐标系下的标准正交基。

从图中可以看到，p在o坐标系下的坐标是(2.5,0.9)，在e坐标系下是(0.5,-0.7)。

但按上面两个公式，算出来的值都是(2.5,0.9)。

我们把 $p=e+u_{p}u+v_{p}v$ 的方程化为矩阵：

从矩阵可以看出(x,y)->(u,v)的转换关系。如下式：

那么，e坐标系下的坐标可由下式求的：

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= {\begin{bmatrix} u &v &e \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}}^{-1}p_{xy}$

由于[u v]是正交矩阵，所以有：

$\begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}^{t} =\begin{bmatrix} u^{t}\\ v^{t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{u} &y_{u} &0 \\ x_{v} & y_{v} & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &-x_{e} \\ 0 & 1 &-y_{e} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{p}\\ y_{p}\\ 1 \end{bmatrix}$

说了这么多，目的是为了引出下面的推导，世界坐标转到摄像机空间坐标。

上式可写为：

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u^t &0 \\ v^t & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &-x_{e} \\ 0 & 1 &-y_{e} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{p}\\ y_{p}\\ 1 \end{bmatrix}$

2.摄像机矩阵推导

先明确一点：这里说的摄像机矩阵是指世界空间到摄像机的矩阵。

摄像机空间的三个基分别是向量right,up,look，世界空间中的位置是P。以R表示摄像机right向量，U表示up向量，V表示look向量，我们的目的是把R，U，V三个向量分别转换到x，y，z向量。

由于这个向量比较难转换，我们换种思路，把x，y，z轴转到RUV的矩阵是：

$R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} R_{x} & U_{x} & V_{x} & 0\\R_{y} & U_{y} & V_{y} & 0\\ R_{z} & U_{z} & V_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

由于该矩阵是正交矩阵，那么有

$R_{view} = (R_{view}^{-1})^{t} = \begin{bmatrix} R^t & 0\\ U^t & 0\\ V^t & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} R_{x} & R_{y} & R_{z} & 0\\U_{x} & U_{y} & U_{z} & 0\\ V_{x} & V_{y} & V_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

回想一下，在空间中绕一点P旋转，是不是，可以看成先把P移到原点，然后旋转，再移动回P点上。

而摄像机空间，是把摄像机的坐标移动到原点，再把各个轴旋转到xyz轴上。

假设摄像机世界坐标是P，矩阵如下：

$T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -P_{x}\\ 0 & 1 & 0 & -P_{y}\\ 0 & 0 & 1 &-P_{z} \\0 &0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

把两个矩阵相乘得到最后的lookup矩阵C：

$C= R_{view}\times T_{view} = \begin{bmatrix} R_{x} & R_{y} & R_{z} & 0\\U_{x} & U_{y} & U_{z} & 0\\ V_{x} & V_{y} & V_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \times \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -P_{x}\\ 0 & 1 & 0 & -P_{y}\\ 0 & 0 & 1 &-P_{z} \\0 &0 &0 & 1 \end{bmatrix} \quad=\quad \begin{bmatrix} R_{x} & R_{y} & R_{z} & -P\cdot R\\U_{x} & U_{y} & U_{z} & -P\cdot U\\ V_{x} & V_{y} & V_{z} & -P\cdot V\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

这里解释了为何LookUp矩阵的平移项是-P·R而不是-P，因为是矩阵相乘的结果。

摄像机空间转换矩阵推导完毕后，下一步是从摄像机空间转到投影空间。

3.正交投影矩阵的推导

我一直在想一个问题，能否用线性代数的投影矩阵来推导出正交投投影矩阵？

根据线性代数的投影矩阵推导公式，假设向量v在平面A[a1 a2]上的投影向量是p，则p可表示为下式：

$p=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} \end{bmatrix} \times $$ \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \end{bmatrix} = Ax$

其中a1，a2是平面的线性组合向量。这里有个限制：A必须是列空间，即A所在的空间一定包含零点。

假设向量v投影到A空间后得到p，我们要求的矩阵是：Pv = p中的P

再有向量r = v - p，则向量r垂直平面A，即向量r与a1和a2都垂直。得到如下式子：

${a_{1}}^{T}\cdot r = 0$

${a_{2}}^{T}\cdot r = 0$

以上两式组合得：

$\begin{bmatrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \end{bmatrix} $$\times $$ \begin{bmatrix} r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$

把r = v - p，p=Ax代入上式得

$\\ \begin{bmatrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v - Ax \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \\A^{T} \times [v-Ax] = [0]$

简写成

$\\ A^{T}v - A^{T}Ax=0 \\ A^{T}Ax =A^{T}v \\ x=\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T}v$

Ax=p，两边乘以A得

$\\ A^{T}v - A^{T}Ax=0 \\ A^{T}Ax =A^{T}v \\ x=\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T}v \\ Ax=A\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T}v \quad \Rightarrow \quad p = A\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T}v$

即得投影矩阵

$P=A\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T}$

更详细的性质与推导可以看线性代数投影矩阵的相关参考。

下面详细说出相机正交投影推导：

A是XOY平面，v是空间中一点。

$A= $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$P=A\left( A^{T}A \right)^{-1}A^{T} =$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

然后要把投影坐标映射到NDC空间。NDC是一个归一化的盒子，z范围0-1，x,y都是-1到1，我手动画图来说明。

屏幕x轴的映射关系是

$y=\frac{2}{w}x -1$ 其中w是屏幕映射区域的宽

同理屏幕y轴的映射关系是

$y=\frac{2}{h}x -1$ 其中h是屏幕映射区域的高

现在我们把w换成r-l，把h换成t-b，r是投影区域的右X坐标，l是左X坐标，t和b同理。

$\\ y=\frac{2}{r-l}x+(-\frac{r+l}{r-l}) \\ y=\frac{2}{t-b}x+(-\frac{t+b}{t-b})$

z轴的映射关系如下：

求得映射方程如下：

$y=\frac{1}{far-near}x+\frac{near}{near-far}$

最后得到投影矩阵O：

$O= $$ \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & -(r+l)/(r-l) \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & -(t+b)/(t-b)\\ 0 & 0 & 1/(far-near) & near/(near-far) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

我们看到，P怎么变换也不能变换到O，这是为什么呢？

个人理解：P的行列式是0，没有逆矩阵，意味着你无法知道原来的Z的位置。因为线性代数中的投影矩阵是降维操作，而图形学中的投影是一个线性方程变换。

===============================

看了闫令琪的图形学中的推导，是我看过最好最直观的。

简单来说，正交投影就是把长方体的盒子，转换到中心为0的标准正方体[-1, 1]³。

这里是把z的n和f变换到-1到1中，和上面的[0,1]不一样

上图来源于闫令琪的教程，注意，我这里是左手坐标系，把图修正了。

长方体的平移距离是 $\left ( -(l+r)/2, -(t+l)/2,-(n+l)/2 \right )$ ，矩阵表示为：

$O_{t} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(t+b)/2\\ 0 & 0 & 1 & -(n+f)/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Scale就更简单了，l到r缩放到-1到1，缩放因子就是2 / (r - l)，其他同理。

$O_s= \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2/(f-n) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

正交投影矩阵是：

$O = O_s\times O_t = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & -(l+r)/(r-l)\\ 0 & 2/(t-b) & 0 & -(t+b)/(t-b)\\ 0 & 0 & 2/(f-n) & (n+f)/(n-f)\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4.透视投影的推导

参考闫令琪的教程，透视投影就是先把Frustum变换到一个box，然后再进行正交投影的过程。

先看这个连接，https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/GAMES101_Lecture_04.pdf

后面我再在这里写过程，并把闫令琪留给我们的问题写出来。

首先，齐次坐标的表示：

(x, y, z, 1)，(wx, wy, wz, w != 0)，(xz, yz, z², z != 0)均表示同一个点。

下一步，如何把frustum变换到正交投影的box？

侧视图：

y和y'的转换可写成： $y' = \frac{y}{z}n$ ， $x'=\frac{x}{z}n$

那么我们要找到一个矩阵，可以把(x, y, z, 1)变换到坐标(x', y', ?, 1) = (yn/z, xn/z, ? 1) = (yn, xn, ? z)

一矩阵乘法的形式表示：

$M_{persp\rightarrow ortho} \times \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx\\ ny\\ ?\\ z \end{pmatrix}$

根据矩阵乘法， $row_1 \cdot (x, y, z, 1) = nx$ ，row1 = (n, 0, 0, 0)，row2和row4也是如此

$M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

关键第三行如何求？

但z = n时，经过该矩阵 $M_{persp\rightarrow ortho}$ 的转换后仍然是n

$\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx/z\\ ny/z\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n^2\\ n \end{bmatrix}$

点乘法则：

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = n^2 \quad \Rightarrow An + B = n^2$

当z = f时，仍然按上面的法则推导

$\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ f\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx/z\\ ny/z\\ f\\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} nx\\ ny\\ f^2\\ f \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ f\\ 1 \end{bmatrix} = f^2 \quad \Rightarrow Af + B = f^2$

解方程组求A，B得：

A = n + f

B = -nf

$M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

最后投影矩阵：

$M_{persp} = M_{ortho} \times M_{persp\rightarrow ortho} \\ = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & -(l+r)/(r-l)\\ 0 & 2/(t-b) & 0 & -(t+b)/(t-b)\\ 0 & 0 & 2/(f-n) & (n+f)/(n-f)\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 2n/(r-l) & 0 & -(l+r)/(r-l) & 0\\ 0 & 2n/(t-b) & -(t+b)/(t-b) & 0\\ 0 & 0 & 2(n+f)/(f-n) & -2nf/(f-n)\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

另一种方式的投影矩阵

假设摄像机坐标本来就已经在原点，l + r = 0，t + b=0。

并且r - l = width，t - b = height

投影矩阵可以写成：

$M_{persp} = \begin{bmatrix} 2n/width & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2n/height & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2(n+f)/(f-n) & -2nf/(f-n)\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

摄像机垂直方向的视角是fov，如下图：

再看下面的式子：

$tan(\frac{fov}{2}) = \frac{height}{2n} \\ n = \frac{height}{2tan(\frac{fov}{2})} \\ aspect = \frac{width}{height}$

投影矩阵可以最后写成：

$M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{1}{tan(fov/2)aspect} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{tan(fov/2)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2(n+f)/(f-n) & -2nf/(f-n)\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

如果正交投影中，变换到一个在z是0-1的box，只需要修改Ot和Os矩阵：

$O_{t} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(t+b)/2\\ 0 & 0 & 1 & -n\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$O_s= \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/(f-n) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$O = O_s\times O_t = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & -(l+r)/(r-l)\\ 0 & 2/(t-b) & 0 & -(t+b)/(t-b)\\ 0 & 0 & 1/(f-n) & n/(n-f)\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

这种情况下的投影矩阵可写成：

$M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{1}{tan(fov/2)aspect} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{tan(fov/2)} & 0 & 0\\ 0 & 0 & f/(f-n) & -nf/(f-n)\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

看一下z的变化：

${z}' = \frac{fz}{(f-n)z} - \frac{nf}{(f-n)z} = \frac{zf - nf}{(f-n)z}$

函数图大概是这样：

横轴是z，纵轴是z'(0,1)。

5.NDC坐标到屏幕坐标的转换

NDC中x是-1到1，y也是-1到1，而窗口大小分别是width和height。

下面是NDC的坐标与屏幕坐标的映射关系：

对应方程分别是：

$x_{screen}=\frac{width}{2}x+\frac{width}{2}$

$y_{screen}=-\frac{height}{2}y+\frac{height}{2}$

屏幕空间的z是0-1之间，我假设这里的NDC的z也是0-1，（opengl是-1,1），z对应的变换如下：

$z_{screen}=z$

$z_{screen}=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2} \qquad (opengl)$

因此得到NDC到屏幕坐标的矩阵S。

$S= \begin{bmatrix} width/2 & 0 & 0 & width/2 \\ -height/2 & 0 & 0 & height/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

$S_{opengl}= \begin{bmatrix} width/2 & 0 & 0 & width/2 \\ -height/2 & 0 & 0 & height/2 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

做后屏幕坐标就是：

$P_{screen} = S \times P_{NDC}$

所以，世界坐标到屏幕坐标的最后映射关系是：

$P_{screen} = S \times O \times C\times P_{world}$

详细的世界坐标转屏幕坐标及投影矩阵的推导相关推荐

【转】投影矩阵的推导
[转]投影矩阵的推导原文:https://www.cnblogs.com/wonderKK/p/5695116.html 博主: 这篇文章写得非常好,对投影矩阵的推导清晰明了,但有个错误:推导的全程 ...
opoengl 投影矩阵的推导
原文:http://blog.csdn.net/wangdingqiaoit/article/details/39010077 OpenGL学习脚印: 投影矩阵的推导写在前面本节内容翻译和整理自h ...
投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)
本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Derivin ...
投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)(转)
本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Derivin ...
(转)投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)
转自:http://blog.csdn.net/gggg_ggg/article/details/45969499 本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.cod ...
向任意平面的投影矩阵的推导
概述方法来自于<3D数学基础,图形与游戏开发>这本书. 基本原理这个方法其实有点思维跳跃,原理是首先推导出一个任意方向n缩放比例为k的缩放矩阵,然后将k变成0,这就变成了向垂直于n的投 ...
深入理解OpenGL之投影矩阵推导
深入理解OpenGL之投影矩阵推导 OpenGL流水线中的投影矩阵以及坐标变换 OpenGL中,投影矩阵在Vertex shader中使用,用于变换顶点.一般和Model, View矩阵结合成MVP矩 ...
投影矩阵（投影变换）解惑
背景投影矩阵的推导曾经让我困惑了很久,反思可能是自己数学知识的浅薄,所以很多大神写的关于投影矩阵的推导很明晰还是看不懂,好在经过两周的努力学习和思考,终于弄明白了这个问题,特此做一个总结和大家分享一 ...
3D游戏之投影矩阵算法技术实现
笔者介绍:姜雪伟,IT公司技术合伙人,IT高级讲师,CSDN社区专家,特邀编辑,畅销书作者,国家专利发明人,已出版书籍:<手把手教你架构3D游戏引擎>电子工业出版社和<Unity3 ...
投影矩阵之z坐标推导
看了好几篇关于投影矩阵的文章,在z坐标的推导上,没有提到为什么z'和1/z成线性关系,而是通过结论中的投影矩阵,即已知z'= (zA + B)/w,并且x和x',y和y'关系式中分母都有-z,所以w为 ...

详细的世界坐标转屏幕坐标及投影矩阵的推导