原文：http://blog.csdn.net/wangdingqiaoit/article/details/39010077

OpenGL学习脚印: 投影矩阵的推导

写在前面

本节内容翻译和整理自http://www.songho.ca songho的博客《OpenGL Projection Matrix》内容,以供自己和初学者熟悉投影矩阵推导过程。

通过本节，你可以了解到:

投影矩阵计算的阶段
透视投影和正交投影的矩阵推导

本节的要点就在于: 阅读时，自己拿笔推导一遍。

1.概览

计算机屏幕是2维的，OpenGL渲染的3D场景必须以2D形式的图像投影到屏幕上。GL_PROJECTION 矩阵就是用来设置投影变换的。首先，它将所有顶点从眼坐标(照相机坐标)转换到裁剪坐标系下。然后，这些裁剪坐标通过透视除法，即除以裁剪坐标中w分量，转换到归一化设备坐标系(NDC)。

一个由视锥裁剪的三角形

因此，我们要记住，裁剪(视锥剔除frustum culling)和NDC转换都集成到了GL_PROJECTION 矩阵。接下来的部分描述了怎么样通过left, right, bottom, top, near and far 这6个界限参数来构造投影矩阵。

注意:

视锥剔除是在裁剪坐标系中进行的，并且恰好在透视除法之前进行。裁剪坐标xc, yc 和 zc 通过与wc比较来进行测试。如果某个坐标值比Wc小或者比Wc大，那么这个顶点将被丢弃。然后，OpenGL会重新在裁剪进行的地方构造多边形的边缘。

补充内容:

实际上，眼坐标系下坐标在乘以投影矩阵后，裁剪测试和透视除法都是由GPU来执行的。而后面这两个过程处理的裁剪坐标系数据都是由投影矩阵变换的。

1. 裁剪测试也即视锥剔除

-Wc < Xc,Yc,Zc < Wc

2. NDC透视除法

Xn = Xc / Wc Yn = Yc / Wc Zn = Zc / Wc

这里需要注意的是，我们在构造16个参数的投影矩阵的同时，不仅要考虑到裁剪，还要考虑到透视除法的过程。这样，最终的NDC坐标才会满足:

-1 < Xn,Yn,Zn < 1

2.透视投影

在透视投影中，在眼坐标下截头椎体(a truncated pyramid frustum)内的3D点被映射到NDC下一个立方体中；x坐标从[l,r]映射到[-1,1],y坐标从[b,t]映射到[-1,1]，z坐标从[n,f]映射到[-1,1]。

注意:

眼坐标系使用右手坐标系，而NDC使用左手坐标系。这就是说，眼坐标系下，在原点处的照相机朝着-Z轴看去，但是在NDC中它朝着+Z轴看去。因为glFrustum() 仅接受正的near和far距离，我们在构造GL_PROJECTION 矩阵时，需要取其相反数。眼坐标系和NDC坐标系如下图所示:

在OpenGL中,眼坐标下3D点被投影到近裁剪面(即投影平面)。下图展示了眼坐标系下点(xe, ye, ze) 如何投影到近裁剪面上的 (xp, yp, zp) 的。(左侧是视锥的俯视图，右侧是视锥的侧视图,拿出右手构成右手坐标系，然后比划比划就出来了）

根据三角形的相似性，由俯视图可得出:

由侧视图可以得出:

补充: x_p 和y_p其实是一个中间值，我们要找的是(Xc, Yc, Zc)和 (Xn, Yn, Zn)之间的关系，但是可以利用:

这一关系做过渡，后面利用x_p和y_p，映射到NDC中x_{n和y_n}的线性关系就利用到了 x_p 和y_p。这一点很重要。

注意,这里 x_p 和y_p 都依赖于z_e,他们与 -z_e成反比。换句话说，他们都被 -z_e相除。这个事构造GL_PROJECTION 矩阵最初的线索。在眼坐标通过乘以 GL_PROJECTION 来转换时，裁剪坐标系仍然是一个齐次坐标系。通过对裁剪坐标进行透视除法得到最终的NDC坐标。下图解释了这个过程:

因此我们可以把裁剪坐标系下的w分量设为-z_e，那么GL_PROJECTION矩阵第4行变为(0, 0, -1, 0),如下图(求出了投影矩阵第4行):

下现在我们把x_p和y_p，映射到NDC中x_{n和y_n}，他们之间是线性关系: [l, r] ⇒ [-1, 1]和[b, t] ⇒ [-1, 1].

线性关系如下图所示:

则可以推导出:

细节部分有删节,这个推导过程使用的就是简单的y=kx+b线性关系推导，同理利用[b, t] ⇒ [-1, 1]可推得:

将上面的 x_p 和y_p带入求得:

注意这里Xn和Yn已经是NDC中的坐标了，通过这两个坐标可以求出GL_PROJECTION 的前两行来，书写如下(求出了投影矩阵第1,2,4行):

现在怎么求出第3行呢？

找出z_n与找出x_n和_{y_n}不同，因为 z_e总是被投影近裁剪面-n上。但是我们需要唯一的Z值进行裁剪和深度测试。另外，我们还能够unproject即反向变换(inverse transform)。因为Z值不依赖于x或者y，因此我们借用w分量来找出 z_n 和 z_e之间的关系。

因此我们可以这样指定第3行:

在眼坐标下We等于1，因此上式变为:

我们使用(z_e, z_n)的关系(-n, -1)和 (-f, 1)来求解出系数A,B；

细节部分有删节，使用消元法即可求出:

我们求出了A和B，那么z_e和z_n关系如下式:

最终的投影矩阵如下式：

这个公式对应的是一般的视锥，如果视锥是对称的，即r = -l ,t= -b，那么有:

z-fighting

在继续之前，我们来看看表示z_e和z_n关系的式3.这是一个有理函数，并且z_e和z_n之间不是线性关系。这意味着，在近裁剪面的精度很高，而远裁剪面则很小。如果[-n, -f]范围变得大写，就会引起深度精度问题，即z-fighting。在远裁剪面附近，z_e的小变化根本不影响z_n值。近裁剪面和远裁剪面之间的n和f举例，应该尽可能小，来减少深度缓存的精度问题。可参考下图来帮助理解。

3.正交投影

构造正交投影的矩阵简单很多。所有的是眼坐标下x_e, y_e 和z_e，都被线性的映射到NDC中。我们需要做的就是讲长方体视景体缩放为规范视见体，然后移动到原点。如下图所示：

以x_e和x_n之间映射关系为例，[l,r]=>[-1,1],则可以推导如下:

y,z也有类似推导，这里省略，最后得出投影矩阵为:

如果视锥是对称的话，即r = -l ,t= -b的话，则可以简化为:

到这里透视投影和正交投影矩阵推导完毕。

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