投影矩阵（投影变换）解惑

背景

投影矩阵的推导曾经让我困惑了很久，反思可能是自己数学知识的浅薄，所以很多大神写的关于投影矩阵的推导很明晰还是看不懂，好在经过两周的努力学习和思考，终于弄明白了这个问题，特此做一个总结和大家分享一下，关于本篇的标题本来想起《大话投影矩阵》后来考虑推导的过程需要大量的数据知识，难度还是很大，所以取《投影矩阵解惑》这个标题比较合适，本篇准备采用问答的形式来书写。

下面我就以自问自答的形式来，解惑投影矩阵了。问题有这些

1、具体我们是在什么地方使用了投影矩阵？

2、我们为什么要知道“投影矩阵”和投影变换？

3、投影矩阵是什么，长的什么样子？

4、图说投影变换是干什么的？

5、投影矩阵推导的大神文章在哪里？

6、投影矩阵在投影变换中起了什么作用呢？他又是如何操作的？

7、投影变换中投影矩阵乘法的输入和输出又是什么呢

8、投影矩阵推导的核心难点在哪里？大神们解释清楚了？

9、学会了投影变换和投影矩阵的原理后，能给我们带来什么好处，我们又可以继续学习什么呢？

因为本篇可能会有很多数据知识，在正式开始之前，请读者自己回答这些问题，来验证下对于投影变换的了解程度，是一知半解还是已经掌握了。

解惑

1、具体我们是在什么地方使用了投影矩阵（投影变换）？

正式的说法是这样我们在渲染管线中使用了 “投影变换”，投影变换是渲染管线中非常重要的一个步骤，实际上正是这个步骤实现了从3d 模型到图像的转换。

具体不太明白的读者自己恶补吧

这里剽窃了两张图片

具体点，就是我们在Shader中 Vertex中使用了顶点的投影变换，具体代码如下，我想大家都见过类似的代码

其中 mul(UNITY_MATRIX_MVP, IN.vertex)；就完成了投影变换的过程，其中UNITY_MATRIX_MVP是一个复合矩阵，MVP中的P就是投影变换的意思。

2、我们为什么要知道“投影矩阵”和投影变换？

既然及其他3D引擎的底层已经为我们封装好了，那我们为什么要知道“投影矩阵”和投影变换，

A、根据以上的介绍我们知道投影变换是渲染管线的核心变换，搞明白了它也就基本弄明白了渲染管线，这样可以为Shader开发打下坚实的基础；

B、在Shader开发中的，涉及到深度缓存使用，深度缓存重建世界坐标，image effect等高级Shader开发需要扎实的投影变换的知识，并在其基础上进行反推导。（不然可能给你一个Shader源码，你可能完全看不懂）

3、图说投影变换是干什么的？

从3d 模型到 2d 图像的转换是一个复杂的过程，但基本的原理用一张图可以说清楚

看这张图基本能说明3D成像或者投影变换的过程和目标。

这里只要强调一点，世界本来就是3D的，所有的物体都是在世界坐标中原封不动，只是由于人眼或者相机成像（光学成像）的原理，照成了远小近大的视觉效果，才有了视锥这个东西，但是最终我们在显示器上看到的是一个平面，实际上3D系统是一个模拟系统。

4、投影矩阵是什么，长的什么样子？

n，近平面位置 f，远平面位置 α，垂直视角 fovy r，横纵比（aspect ratio）

实际上一切都是纸老虎，把它当做一个普通的矩阵来看待，实际上它只是一个缩放和z上平移的矩阵而已。

5、投影矩阵在投影变换中起了什么作用呢？他又是如何操作的？

投影矩阵是如何操作的呢？这个问题简单的很，就是这句OUT.vertex = mul(UNITY_MATRIX_MVP, IN.vertex);其实就是做了一个矩阵乘法。那这个矩阵乘法起到了什么作用呢？矩阵乘法的本质是线性运动的一种描述，说白了是构建一种变换的坐标系，矩阵的列就是构建坐标系的轴向量。

6、投影变换中投影矩阵乘法的输入和输出又是什么呢

既然矩阵乘法，那乘法之前的样子和相乘之后的样子，也就是输入和输出了，用图来来看

矩阵乘法之前

矩阵乘法之后

这里需要注意的红色的视椎体和红色矩形，其实是用来推导透视矩阵标定时候用的，实际上变换的是蓝色的世界坐标物体

7、投影矩阵推导的核心难点在哪里？大神们解释清楚了？

A、核心难点是透视变换是否能脱离渲染流水线来单独说明白

实际上我觉得是不能的，一定要对渲染管线有整体的认识以后理解起来能简单一些，但如果将这两个问题绕在一起说，再结合大量的数学问题，我觉得对于初学者去看真是一头雾水

这可能是我发现的最好将可编程渲染管线的图了

实际上在vertex中关于透视变换我们只是做了一次透视矩阵的乘法，也就是问题6中的变换，没有什么裁剪和透视除法的操作

B、将一个视锥体变换成一个立方体的透视矩阵的Z轴是如何构建的

实际上关于透视变换的原理大家都能明白，就是远小近大，这个谁都能理解

说白了就是视锥体中的成像平面中，x,y的投影值与z值成反比，越远越小

虽然我现在知道这个z值是如何推导的，但是大神的这种说法实在让人不能信服，怎么推导出来这个 az+b简直太奇葩了。

不过慕容小匹夫的文章还是比较中肯的，记住它是一个伪深度

如何用白话来说这个过程呢，为什么要用这个伪深度呢，这是另一篇神文中的比喻。

实际上投影矩阵要做的事情其实就是一个，将视矩阵中的视椎体变换成为一个x,y,z为（1，1，1）的标准CCV空间（作用是做视锥剔除，通过立方体进行剔除要简单多），实际上这个就是投影变换中的难点所在，很不好理解。我们用现实中的例子来思考下这个问题，如果将一个方形椎体钉入到一个立方体中，实际上不按照深度进行挤压是不可能的。

而事实上，这个矩阵的推导却要做到这个在线性空间不可能做到的事情。这也就是让我们阅读和理解的时候特别痛苦的事情。

那么他们是怎么做到的呢？

实际上我们要解决的问题是，如何将一条非线性的曲线拉直（转换成线性的）的问题，

方案A：直接用非线性空间不就得了嘛，拉伸曲线为直线变得简单easy，但由于我们需要使用矩阵乘法做线性空间的变换，所以这个方案是不可取的。

方案B：用一条直线模拟曲线，实际在有限的范围内是完全可能的，实际也是如此，而且这东西在计算机图形图像学中是广泛应用，也就是各种插值，推导中使用的就是线性插值，也就是我们用一条直线来替代了本来的曲线。所以为什么是大神会说是伪深度，这个深度值本来就不是准确的，当然为了消除x,y轴与深度z成反比的问题，我们还引入了齐次坐标系，升了一个维度。

8、学会了投影变换和投影矩阵的原理后，能给我们带来什么好处，我们又可以继续学习什么呢？

如何你真的搞明白了投影变换和投影矩阵的原理，那么：

A、关于什么是矩阵，以及矩阵变换相关的知识应用应该没有问题了；

B、对于渲染管线的流程应该有了一个更加直观的认识；

C、可以看懂和应用一些，深度缓存及深度缓存重建的Shader高级技术的编程了。

写在最后

说实话由于数学知识比较薄弱，这个知识点曾经我困惑了很久，现在终于给甩到身后去了，特写了本文，希望对于3D和Shader开发的初学者有点帮助，不过由于本人的能力有限，也有可能讲的不够清楚，望海涵。

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