正十二面体二面角的一种求法

正多面体有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种。其中正六面体二面角很平凡的为直角，正四面体、正八面体和正二十面体的面都是正三角形，有很多解三角形的方法可用于求二面角，而正十二面体的面为正五边形，且不易分解为规律明显的三角形，因此正十二面体二面角的求法就相对比较困难。本文给出一种较为简单的求解正十二面体二面角的方法。

如下图所示，设z轴位于A点处且垂直于纸面向外，正五边形ABCDE为正十二面体（棱长为1）的底面，正五边形AEFGH为正十二面体上以AE为轴展开的一个面，正五边形AIJKB为正十二面体上以AB为轴展开的一个面，线段AM所在直线为角IAH的角平分线，线段AM与z轴确定的平面设为 $\alpha$ （图中未标出），向量 $\overrightarrow{AN}$ 为 $\alpha$ 的一个法向量，线IL垂直于y轴，垂足为L。

注意到正五边形内角为 $108^{\circ}$ ，则下文中对图中的角直接代入角度值计算，由读者自行推导或转换。现在将正五边形AIJKB以AB为轴向z轴正方向旋转（此时点L跟随面一起动），当旋转角度为 $\theta$ 时，由二面角定义，AL与y负半轴夹角也为 $\theta$ ，由于AL长度为

$l^{A I} \cdot \cos \angle L A I=\cos 18^{\circ}$

则向量 $\overrightarrow{AL}$ 的坐标表示为 $\left(0,-\cos 18^{\circ} \cos \theta, \cos 18^{\circ} \sin \theta\right)$ ，又 $\overrightarrow{L I}=\left(-\sin 18^{\circ}, 0,0\right)$ 则

$\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{L I}=\left(-\sin 18^{\circ},-\cos 18^{\circ} \cos \theta, \cos 18^{\circ} \sin \theta\right)$

又 $\angle L A M=36^{\circ}$ 则 $\overrightarrow{A N}=\left(\cos 36^{\circ},-\sin 36^{\circ}, 0\right)$ 。当AIJKB旋转成正十二面体的一个面时，由于对称性， $\overrightarrow{A I}$ 应当正好落在面 $\alpha$ 上，则此时 $\overrightarrow{A I}$ 与 $\overrightarrow{A N}$ 内积为0，即

$-\cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}+\sin 36^{\circ} \cos 18^{\circ} \cos \theta=0$

解得：

$\theta=\arccos \left(\frac{\cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 36^{\circ} \cos 18^{\circ}}\right)=\arccos \left(\frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 36^{\circ}}\right)$

而正十二面体二面角在体内，应为 $180^{\circ}-\theta$ ，即得二面角约为 $116.565^{\circ}$ 。

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