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1、1,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,2,Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,3,Z变换的引入,Z变换Z变换的定义,采样信号表达式 对上式进行Laplace变换 引入 ，同时令 ，则得到Z变换的定义式,4,Z变换的特点,Z变换Z变换的定义,(1) 只有采样函数 f*(t)才能定义Z变换，得到的F(z)是z的幂多项式(有 理分式)，便于研究，Z变换的实质是采样信号的拉式变换 (2) 比较下面两式 于是f(kT)决定幅值，z-k决定时间，z-1对应于(t-T)。

2、， z-k对应于(t-kT) z-1时间上延迟一个周期， z-k延迟k步，便于差分方程描述 (3) Z 变换是由采样函数决定的 它反映不了非采样时刻的信 息，例如右图就是采样函数 相同但是连续函数不同，即 F(z)与f(t)并非唯一对应的关 系,5,Z变换的特点,Z变换Z变换的定义,(4) F(z)的表现形式,6,Z变换,Z变换的定义,1,Z变换的求法,2,Z反变换,3,线性离散系统的Z变换分析,4,7,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,例：求单位脉冲函数f(t)= (t)的Z变换 解：根据脉冲函数的定义 于是有 依据Z变换的定义得到f(t)的Z变换为,8,直接法(级数求和法),Z变换。

3、Z变换的求法,例：求单位阶跃信号f(t)=1(t)的Z变换 解：根据单位阶跃信号的定义 由Z变换的定义可得： 由无穷递缩等比数列的求和公式可得：,9,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,例：求单位斜坡函数f(t)=t的Z变换 解：根据单位斜坡函数的定义 根据Z变换的定义可得： 令： 则： (1)-(2)得： 所以,10,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,练： 求指数函数f(t)=e-t的Z变换,11,部分分式展开法(查表法),Z变换Z变换的求法,线性常系数微分方程，可以写成传递函数F(s)：特征值为实数(一阶 系统)或者一对共轭复根(二阶系统)。 F(s)可以分解为一阶和二阶环节。

4、之和(部分分式展开)，分别查表，得 到Z变换式，再求和。 例：求 的Z变换 解：将F(s)表示成为部分分式和的形式 查表得F(s)的Z变换为 常用Z变换表见文档,12,已知F(s)求F(z),Z变换Z变换的求法,方法一：先把F(s)利用拉氏反变换求出f(t)，然后将其离散化求出f*(t)，再 求其z变换 方法二：将F(s)表示成部分分式，再利用Z变换表求其Z变换 几种记法：,13,Z变换的几点说明,Z变换Z变换的求法,(1) Z变换的定义式为 很明显，定义式是是关于z的幂级数。只有级数收敛时，才称为采样 函数的Z变换 (2) Z变换的物理意义表现在延迟性上，级数展开 若将z1的看作移位算子，k。

5、为位移量，f(kT)为幅度，则F(z)是单位位 移序列的幅度加权和 (3) Z变换的实质是拉氏变换，由于采样函数是连续函数中的特定点，故Z 变换也可看作是拉氏变换的一种特例 (4) 连续函数不存在Z变换。Z变换只对采样点有意义，采样函数与Z变换 是一一对应的。而与连续时间函数之间无一一对应关系。如单位脉冲 序列T(t)和单位阶跃函数1(t)的Z变换形式相同，但对应的连续函数不 同,14,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,线性性质 由Z变换的定义可知，Z变换是线性变换。于是假设f1(t)的Z变换为 F1(z)，f2(t)的Z变换为F2(z)， 又a, b是任意常数，如下结论成立： 如果： f(t。

6、)af1(t)bf2(t) 则有： F(z) aF1(z) bF2(z),15,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,实位移性质1右位移定理(滞后性质定理) 若t0时，f(t)0，且F(z)Zf(t) ，则Zf(tnT)z-nF(z) 证明： 设 则： m0时，f(mT)0，故： 因此，z变换F(z) 乘以zn，相当于 时间函数f(t)延迟nT,16,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,实位移性质2左位移定理(超前性质定理) 若t0时，f(t)0，且F(z)Zf(t) ，则 请自行证明 例：求图示函数的Z变换 解： f(t)1(t 4T),17,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,初值定理 如果f(t。

7、)的Z变换为F(z)，且 存在， f(k) 或 f(t)的初值 终值定理 如果f(t)的Z变换为F(z)，且 在Z平面上以原点为圆心的单位圆 上和圆外没有极点，则,18,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,19,长除法(幂级数展开法),Z变换Z反变换,对于 通过长除可得到幂级数展开式 例：求长除法求函数 的Z反变换,20,部分分式法(查表法),例：用部分分式法求 的Z反变换 解：,Z变换Z反变换,21,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,22,线性。

8、离散系统的数学描述,与连续系统的分析相同，离散系统的数学模型主要有时 域模型(差分方程)与复域模型(脉冲传递函数)。二者之 间可相互转换，其关系与连续系统的微分方程、传递函数相 同。在离散控制系统中，连续信号被离散时间信号所取代， 描述系统的时域模型就成了差分方程，系统用变量的前后序 列差表示。,Z变换线性离散系统的Z变换分析,23,线性离散系统的差分方程,Z变换线性离散系统的Z变换分析,单输入单输出线性定常系统，某采样时刻的输出值 c(kT) 不仅与这一 时刻的输入值 r(kT)有关，而且与过去时刻的输入值r(kT-T),r(kT-2T)有 关，同时还与过去的输出值c(kT-T), c(kT。

9、-2T)有关。可以把这种关系描 述如下： 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。上述方程还可以简写为：,24,差分方程的求解,Z变换线性离散系统的Z变换分析,递推法 根据系统的初始状态和系统输入，按照时间顺序依次计算系统的 输出，按此方法不断迭代下去就可以求得任意时刻输出，该方法算法 简单，无闭合形式，便于编程求解。 例：已知一个数字系统的差分方程为 系统输入信号 ，c(0)=2，试求解该差分方程 解：c(k) = -c(k-1)+r(k)+2r(k-2) k=1: c(1) = -c(0)+r(1)+2r(-1) = -2+1 = -1 k=2: c(2) = -c(1)+r(2)+2r。

10、(0) = 1+2+0 = 3 k=3: c(3) = -c(2)+r(3)+2r(1) = -3+3+2 = 2 以此类推,25,差分方程的求解,Z变换线性离散系统的Z变换分析,Z变换法 用Z变换法求解差分方程主要用到变换的平移定理。一般对含输入输 出的各项进行Z变换之后进行求解。该方法可以得出系统的解析解，但是 应当检验初始条件 例：用Z变换求解差分方程：c(k+2)+3c(k+1)+2c(k) = 0，c(0) = 0, c(1) = 1 解：对上式进行 Z变换得： Zc(k+2)+3c(k+1)+2c(k) = 0 由 Z变换的线性定理： Zc(k+2)+Z3c(k+1)+Z2c(k)。

11、 =0 由 Z变换的超前定理： 带入系统的初始值得： 查表得：,26,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数的定义 为了应用脉冲传递函数的概念，通 常可在输出端虚设一采样开关，对 输出的连续时间信号做假想采样来 获得输出信号的采样信号。,27,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数的推导 由G(s)求G(z) (1) 对G(s)做拉式反变换，求得脉冲响应 (2) 对h(t)采样，求得离散系统脉冲的响应 (3) 对h(t)作Z变换，得离散系统脉冲的响应,28,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数与差分方程 差分方程形式： 写成求和形式： 零初始条件下： 整理上式可得：,29,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,例：求图示系统的脉冲传递函数 解：,30,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,例：求图示系统的脉冲传递函数 解。