Chapter28：复数

28.复数
- 28.1 基础
- 28.2 复平面
- - 28.2.1 复数的笛卡尔形式和极坐标形式互换
- 28.3 复数的高次幂
- 28.4 解 zn=wz^n=wzn=w（有限个解）
- 28.5 解 ez=we^z=wez=w（有无穷多个解）
- 28.6 三角级数
- 28.7 欧拉恒等式的推导

28.复数

28.1 基础

一个数是虚数，意思是它的平方是一个负数

i0、i1、i2、i3、i4⋯1、i、−1、−i、1⋯i^0、i^1、i^2、i^3、i^4 \cdots\\ ~\\ 1、i、-1、-i、1\cdots i0、i1、i2、i3、i4⋯ 1、i、−1、−i、1⋯
四个（1、i、−1、−i1、i、-1、-i1、i、−1、−i）为一个周期

复数 z=x+yiz=x+yiz=x+yi
实部 Re(z)=xRe(z)=xRe(z)=x
虚部 Im(z)=yIm(z)=yIm(z)=y

复数 z=x+yiz=x+yiz=x+yi 的共轭复数 zˉ=x−yi\bar{z}=x-yizˉ=x−yi
复数 z=x+yiz=x+yiz=x+yi 的模 ∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2|z|=|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2

zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi−b2i2=a2+b2=∣z∣2z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi−b2i2=a2+b2=∣z∣2

复指数函数
ez=∑n=0∞znn!(其中z=x+yi)e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\quad ( 其中z=x+yi ) ez=n=0∑∞n!zn(其中z=x+yi)
ezew=ez+we^ze^w=e^{z+w}ezew=ez+w

28.2 复平面

将每个点看作一个复数，而不是一对实数
笛卡尔坐标系中点 (x,y)(x,y)(x,y) 在复平面中用一个复数 z=x+iyz=x+iyz=x+iy 表示

复平面内极坐标为 (r,θ)(r,\theta)(r,θ) 的点表示的复数是什么？

对于不在单位圆上的点，只需乘以 rrr

如果 zzz 由极坐标系下的点 (r,θ)(r,\theta)(r,θ) 表示，则 z=rcos⁡(θ)+irsin⁡(θ)z=r\cos(\theta)+ir\sin(\theta)z=rcos(θ)+irsin(θ)，由欧拉等式，z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ

eiθe^{i\theta}eiθ 关于 θ\thetaθ 是周期的，且周期为 2π2\pi2π 例如：ei(3π2)=ei(−π2)e^{i(\frac{3\pi}{2})}=e^{i(-\frac{\pi}{2})}ei(23π)=ei(−2π)

28.2.1 复数的笛卡尔形式和极坐标形式互换

复数 zzz 的极坐标形式也被称为模-辐角式
复数的模 ∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2|z|=|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2
角 θ\thetaθ 称为 zzz 的辅角，写为 arg(z)arg(z)arg(z)【0≤arg(z)<2π0\leq arg(z) \lt 2\pi0≤arg(z)<2π】

例1：

例2：

28.3 复数的高次幂

为什么要用极坐标形式？？
极坐标形式比较容易进行乘法和取幂运算

若取复数的高次幂，步骤如下：
1.将复数转为极坐标形式
2.取幂
3.求小于 θ\thetaθ 的 π\piπ 的最大偶数倍，从 θ\thetaθ 中减去这个偶数倍，且用所得新数来代换 θ\thetaθ
4.换回笛卡尔形式

28.4 解 zn=wz^n=wzn=w（有限个解）

给定 www 求解 zzz

例1：

例2：

例3：

例4：

28.5 解 ez=we^z=wez=w（有无穷多个解）

给定 www 求解 zzz

28.6 三角级数

例子：

28.7 欧拉恒等式的推导

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