离散信号（八）| 离散傅里叶变换DFT性质（圆周移位、圆周卷积）

离散傅里叶变换DFT的性质

离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而它与其它傅里叶变换有着相似的性质。但是它又是从傅里叶级数派生而来，所以又具有一些与其它傅里叶变换不同的特性，其中最主要的圆周移位性质和圆周卷积性质。如上所述，一个有限长序列x(n)x(n)x(n)的DFT，可以看作以有限长度N为周期，将x(n)x(n)x(n)进行周期延拓形成的周期序列xp(n)x_p(n)xp(n)在一个周期内的离散频谱。因此研究DFT的性质必须以周期性序列的特点作为其基本出发点。

1，线性性质

若x1(n)↔DFTX1(k),x2(n)↔DFTX2(k)x_1(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X_1(k),x_2(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X_2(k)x1(n)↔DFTX1(k),x2(n)↔DFTX2(k)，那么
ax1(n)+bx2(n)↔DFTaX1(k)+bX2(k)ax_1(n)+bx_2(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}aX_1(k)+bX_2(k) ax1(n)+bx2(n)↔DFTaX1(k)+bX2(k)
要保证二序列要有相同的长度。如果x1(n)、x2(n)x_1(n)、x_2(n)x1(n)、x2(n)长度不同，长度短的序列要补零，使它与另一序列长度相同。

圆周移位性质

若有限长序列为x(n)0≤n≤N−1x(n)0\leq n\leq N-1x(n)0≤n≤N−1，则经过时移后的序列x(n−m)x(n-m)x(n−m)仍为有限长序列，其位置移至m≤n≤N+m−1m\leq n\leq N+m-1m≤n≤N+m−1，如下图所示。

当求它们的DFT时，取和的范围出现差异，前者从0到（N-1），后者从m到（N+m-1），当时移位数不同时，DFT取和范围也要随之改变，这给位移序列DFT的研究带来不便。为解决次问题，这样来理解有限长序列的位移：先将原序列x(n)x(n)x(n)按N周期延拓成xp(n)x_p(n)xp(n)，然后移m位得到xp(n−m)x_p(n-m)xp(n−m)，最后取xp(n−m)x_p(n-m)xp(n−m)的主值区间(0∼N−1)(0\sim N-1)(0∼N−1)。如下图所示。

这样的移位具有循环的特性，即x(n)x(n)x(n)向右移m位时，右边超出(N−1)(N-1)(N−1)的m个样值又从左边依次填补了空位。如果把序列x(n)x(n)x(n)排列在一个N等分的圆周上，N个样点首尾相接，上面所述的移位可以表示为x(n)x(n)x(n)在圆周上旋转m位，如下图所示。所谓称为圆周移位，也可称循环移位。当有限长序列进行任意位数的圆周移位后，求序列的DFT时取值范围仍保持在0到N-1不变。

序列x(n)x(n)x(n)的圆周移位表示为x((n−m))NRN(n)x((n-m))_NR_N(n)x((n−m))NRN(n)，其中((n−m))N((n-m))_N((n−m))N表示(n−m)(n-m)(n−m)对N取模值，即(n−m)(n-m)(n−m)被N除，整除后所得的余数就是((n−m))N((n-m))_N((n−m))N，而RN(n)R_N(n)RN(n)是以N为长度的矩形序列，这里是取主值范围的意思。

圆周移位性质表明，如果序列发生了圆周移位m位，那么移位后序列的DFT为原序列的DFT乘以复指数因子e−jΩ0mke^{-j\Omega_0 mk}e−jΩ0mk，即
x((n−m))NRN(n)↔DFTe−jΩ0mkX(k)x((n-m))_NR_N(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow} e^{-j\Omega_0 mk}X(k) x((n−m))NRN(n)↔DFTe−jΩ0mkX(k)
类似地，如果在频域DFT发生了圆周位移X((k−k0))NRN(k)X((k-k_0))_NR_N(k)X((k−k0))NRN(k)，那么时域序列就乘以一个复指数因子ejΩ0k0ne^{j\Omega_0k_0 n}ejΩ0k0n，即
ejΩ0k0nx(n)↔DFTX((k−k0))NRN(k)e^{j\Omega_0 k_0 n}x(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow}X((k-k_0))_NR_N(k) ejΩ0k0nx(n)↔DFTX((k−k0))NRN(k)

圆周卷积性质

若x(n)、h(n)x(n)、h(n)x(n)、h(n)都是长度为N的有限长序列，且
x(n)↔DFTX(k),h(n)↔DFTH(k)x(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k),h(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}H(k) x(n)↔DFTX(k),h(n)↔DFTH(k)
则
x(n)⨂h(n)↔DFTX(k)H(k)x(n)\bigotimes h(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k)H(k) x(n)⨂h(n)↔DFTX(k)H(k)
则
x(n)⨂h(n)=∑m=0N−1x(m)h((n−m))NRN(n)x(n)\bigotimes h(n)=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)h((n-m))_NR_N(n) x(n)⨂h(n)=m=0∑N−1x(m)h((n−m))NRN(n)
在圆周卷积中，有一个序列是经过圆周移位处理的，所以称为圆周卷积。有一个序列是经过平移处理，与圆周卷积相区分，称为线性卷积。

区别：

1）设有限长序列x(n)、h(n)x(n)、h(n)x(n)、h(n)的长度分别为N和M，按线性卷积定义
y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑∞x(m)h(n−m)
已知x(m)x(m)x(m)的非零值区间是0≤m≤N−10\leq m \leq N-10≤m≤N−1，从h(n−m)h(n-m)h(n−m)看，非零区间应是0≤n−m≤M−10\leq n-m \leq M-10≤n−m≤M−1，考虑m的取值区间，有
0≤n≤N+M−20 \leq n\leq N+M-2 0≤n≤N+M−2
在上式的区间之外，不是x(m)x(m)x(m)为零，就是h(n−m)h(n-m)h(n−m)为零，结果是y(n)y(n)y(n)取零值。因此，y(n)y(n)y(n)是长度为N+M−1N+M-1N+M−1的有限长序列。

而对于两序列的圆周卷积，必须规定它们的长度相等，经圆周卷积后所得序列的长度与原序列相同。当两序列长度不等时，可将较短序列补零值构成两个等长序列再作圆周卷积。

2）如果把序列x(n)、h(n)x(n)、h(n)x(n)、h(n)都适当地补零值，那么，在作圆周卷积时，向右移去的零值循环回序列的左端，出现与线性卷积相同的情况，即序列左端依次留出等于零值的空位，可见，如果补零值的长度合适，两种卷积的结果有可能一致。可以证明，两序列补零以后的长度L满足
L≥N+M−1L\geq N+M-1 L≥N+M−1
它们的圆周卷积与线性卷积结果相同。

离散信号（八）| 离散傅里叶变换DFT性质（圆周移位、圆周卷积）相关推荐

（转）连续信号（八）| 傅里叶变换的性质 | 积分、微分特性 + 时域、频域卷积 + 帕斯瓦尔
最近长时间受困扰.为方便找寻转载学习一下.傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式:时域描述和频域描述. 1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性这一性质表明,在时域上将信号x ( ...
dft对称性 matlab实验,数字信号处理实验 matlab版离散傅里叶变换的性质
数字处理实验 matlab版山大学生最适用本人自己写的因为时间比较久了不能完全保证出现代码都能运行但95%还是能保证的谢谢实验13 离散傅里叶变换的性质 (完美格式版,本人自己完成,所有 ...
matlab在DSP中的应用（六）---离散傅里叶变换的性质
一.实验目的 (1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本性质的理解. (2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)性质的研究方法. (3)掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换性质分析时程序编写的方法. ...
数字信号处理学习笔记[1] 离散信号奇异信号抽样定理
文章目录 2 离散信号和抽样定理 2.1 离散信号奇异信号 2.2 连续信号的离散化,正弦波的抽样问题 2.3 带限信号与奈奎斯特频率用卷积考察抽样定理 2.4 离散信号的频谱和抽样定理 2 离散 ...
模拟信号与离散信号之间的频率关系（由模拟信号采样得到的离散信号）
先看看模拟信号与离散信号之间的关系,这里的离散信号是指由模拟信号采样得到的离散信号(这是得到离散信号的方式之一),我想看看它们频率之间的关系? 以正弦信号为例: 从上面的手稿中可以看出,由模拟信号经过 ...
MATLAB产生离散信号
Matlab产生离散信号常见离散信号冲击信号 n = -5:5; x = n == 0;% 当n为0时,x的值为1 stem(n, x, 'filled'); axis([-5 5 0 1.1*m ...
Matlab如何进行利用离散傅里叶变换DFT (快速傅里叶变换FFT)进行频谱分析
文章目录 1. 定义 2. 变换和处理 3. 函数 4. 实例演示例1:单频正弦信号(整数周期采样) 例2:单频正弦信号(非整数周期采样) 例3:含有直流分量的单频正弦信号例4:正弦复合信号例5 ...
傅里叶级数FS，连续时间傅里叶变换CTFT，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT，推导与联系（一）
本文主要从傅里叶级数 FS,连续时间傅里叶变换 CTFT,离散时间傅里叶变换 DTFT,以及离散傅里叶变换 DFT 之间的区别与联系进行了比较详细的讨论,主要注重于公式形式上的推导,略去了相关的图像示 ...
傅里叶级数FS，连续时间傅里叶变换CTFT，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT，推导与联系（二）
由于本文公式所占用的字符比较多,无法在一篇博客中完整发布,所以将其分为两篇博客.本篇主要介绍了离散傅里叶变换 DFT 的内容,以及相关的总结.对于前置内容,包括傅里叶级数 FS,连续时间傅里叶变换 C ...
【笔记】4. 离散傅里叶变换及其性质
Discrete Fourier Transform 1. 离散傅里叶变换的表示离散傅里叶变换就是有限长序列的离散频域表示,即有限长序列的离散傅里叶级数. x(n)x(n)x(n) 看作是周期为 N ...

离散信号（八）| 离散傅里叶变换DFT性质（圆周移位、圆周卷积）

离散傅里叶变换DFT的性质

离散信号（八）| 离散傅里叶变换DFT性质（圆周移位、圆周卷积）相关推荐

最新文章

热门文章