幂等矩阵(Idempotent matrix)

在线性代数中，幂等矩阵是指一个矩阵乘以自己等于自己。也就是说，当且仅当MM==M时，M是幂等的；因此，M必须是方阵。从这个方面看，幂等矩阵是矩阵环的幂等元组成。

举例和这两个矩阵分别为和的幂等矩阵。

实数的幂等矩阵分析

如果矩阵是幂等的，则如下公式成立：

(1)

(2)

(3)

(4)

从公式2和公式3得出，b=0且c=0,或者a+d=1。因此，对于的幂等矩阵，或者是对角方阵，或者是trace为1的方阵。而且如果是对角矩阵，则a和d或者都为0，或者都为1.

如果b=c的话，则只要满足，矩阵是幂等矩阵。因此，a要满足如下的二元二次方程，

，即

这就是以(1/2,0)为圆点，以1/2为半径的圆。引入角度θ标识，则幂等矩阵为

，

当前上面的幂等矩阵只是幂等矩阵的一个特例，因为b=c不是必须的限定条件，其实只要满足，矩阵，就是幂等矩阵。

特性

幂等矩阵除了幂等的特性外，它还是奇异的。假如M是满秩的，则。如果M是满秩的，则M必须是单位矩阵。

如果M是幂等矩阵，则M-I也一定是幂等矩阵，

如果M是幂等矩阵，则它一定是可对角化的，即一定存在一个矩阵P，使得，其中A是对角矩阵，A的值为1或0。幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，必须是一个整数。该特性提供了一个快速计算幂等矩阵的秩的方法。

应用

幂等矩阵通常用于回归分析和经济学中。例如，在普通的最小二乘中，回归问题是选择一个互相关系数向量β来最小化平方残差，用矩阵的形式描述如下：

最小化。

这里，y是观测输出的因变量向量，X的每一列是自变量中的一个的一列观测结果。估算的结果是，

，

这里，T标识转置，残差向量为：

这里的M和都是幂等矩阵且对称的，也被称为“帽子矩阵”(hat matrix)。因此，可以简化残差平方和为，

M的幂等特性在其它值的运算中也有用，例如计算的方差。

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