来源：北京大学《离散数学》公开课

2.1 有序对和卡氏积有序对：有顺序，类似于数组，可以用集合定义。

性质：有序对内元素对应相等卡氏积A×B：所有元素一个来自A集合，另一个来自B集合的有序对

性质：不满足交换律，不满足结合律，对并和交满足分配律，具有单调性(证明见北大教材p25)

2.2 二元关系A到B的二元关系定义：A×B的任一子集，即A×B幂集中的一个元素组成的集合(注意二元关系也是集合)

A到B的二元关系的总个数：|P(A×B)|

A上的特殊二元关系：空关系、恒等关系、全域关系、整除关系，大于小于关系，包含关系(只有包含关系定义在幂集P(A)上，见p26)

定义域、值域、域(由二元关系定义的集合)

关系的特殊情况：F是单根的、F是单值的(即F定义了一个函数)

二元关系的运算：逆F^-1：将关系集合中所有的有序对反向

逆序合成FoG：有公共中间元素的有序对的集合

限制F↑A：x属于A的关系集合

象F[A]：F↑A的值域，定义域为A的有序对集合对应的值域合成运算定理1：合成运算结合律(重要)

合成运算定理2：A与B合成运算的逆=B逆与A逆的合成运算

2.3 关系的表示和关系的性质关系矩阵(图的矩阵表示)

关系图

关系的性质自反性：每个点都有环

反自反性：每个点都没有环

对称性：任意两点间要么有两条边要么没边

反对称性：任意两点间都没有两条边

传递性：可走捷径(注意考虑有环的情况)

2.4 关系幂运算和关系闭包

(一)关系幂关系R的n次幂：R与自己合成n次后得到的关系集合。也可以理解为G(R)中长度为n的路径的起点和终点组成的有序对的集合

关系幂具有指数律：R^m * R^n = R^(m+n)，(R^m)^n=R^(mn)

(二)闭包R的闭包的定义：包含R，满足给定性质，最小的有序对集合(包含于任意一个)

闭包的种类：自反闭包：r(R)

对称闭包：s(R)

传递闭包：t(R)

3. 闭包运算的性质定理2.19：闭包运算有不动点

定理2.20：闭包运算有单调性(即较大的集合的闭包也较大)

定理2.21：闭包运算对自反闭包和对称闭包的并有分配律，对传递闭包的并没有分配率

4. 闭包的集合求法：定理2.22：自反闭包=R U 恒等关系

定理2.23：对称闭包=R U R的逆

定理2.24：传递闭包=R U R^2 U R^3 U.....(求传递闭包，就是把从此点可走到的点直接连起来)

5. 闭包的图求法：自反闭包：所有定点加环

对称闭包：所有单向边化为双向边

传递闭包：遍历所有点，把从此点可达到的点直接与此点连起来

6. 闭包的矩阵求法：自反闭包：主对角线全部改成1

对称闭包：改为对称矩阵

传递闭包：矩阵R 逻辑或 矩阵R^2 逻辑或 矩阵R^3........(逻辑或指：对所有运算式中的矩阵的每个对应位置上的元素进行或运算)

7. 定理2.25：求闭包后关系性质是否改变自反性在求闭包后保持不变

对称性在求闭包后保持不变

传递性在求对称闭包后可能改变(反例：a->b具有传递性，但它的对称闭包为ab，不具有传递性，因为a到a要两步才能达到)

8. 定理2.26：闭包运算的交换律求自反闭包和对称闭包运算可交换

求自反闭包和传递闭包运算可交换

求对称闭包和传递闭包运算不可交换，其中先求传递闭包再求对称闭包得到的闭包较大

2.5 等价关系和划分等价关系定义

等价关系R是自反，对称，传递的二元关系用等价关系分类

空关系(不是等价关系)、恒等关系(是等价关系，把每个元素自己分成一类)、全域关系(是等价关系，把所有元素分成一类)

2. 等价类R的等价类定义

所有与x有R关系的y的集合，记为[x]等价类的一个例子

R为除以3后的同余关系(即x与y除以3的余数相等)

可证：除以n后的同余关系为等价关系(证：xRy等价于关系式x-y=k*n, 其中k为整数。由定义易证此关系式满足自反性、对称性，传递性)

现取dom={1,2,3,4,5}

那么有等价类：

[1]=[4]={1,4}(1,4是一个等价类，余数都是1)

[2]=[5]={2,5}(2,5是一个等价类，余数都是2)

[3]={3}(3是一个等价类，余数都是0)

在G(R)上可观察到，1,4；2,5；3分别满足全域关系(所有的点之间连通)，即每个等价类内部具有全域关系

由此性质可知，得到关系的等价类后，就可以直接推导出所有的关系等价类的性质(定理2.27)非空(由于等价关系需满足自反性，所以等价类中至少包含x自己)

若xRy，则[x]R=[y]R(因为等价关系R满足对称性和传递性。由对称性：y与x有关，由传递性：y与x有关，x与其他元素有关，则y与所有与x有关的元素有关。反之，x与所有与y有关的元素有关，所以x与y的相关元素相同)

若x和y无关，则[x]R与[y]R不相交(反证法：若[x]R与[y]R有一个共同元素z，那么参考2的思路，由对称性和传递性可得x和y必有关)

所有等价类的并为A(结论显而易见，严格证明用集族的单调性，因为每个等价类都包含于A，所以所有等价类的并包含于A的并，即A自己)

可见：等价类是对A的一个划分(A的每个元素都只在其中一个等价类中，且等价类的并为A)

而等价关系确定等价类的基础。一切划分从确定一个自反、对称、传递的等价关系开始。

( 插一句题外话：等价类让我想起了麦肯锡咨询里的一个原则：MECE：Mutually Exclusive Collectively Exhaustive(相互独立、完全穷尽)。麦肯锡把这个原则视为咨询的黄金法则，其实也就是离散数学中的划分等价类。可见许多商业逻辑的原型都是数学。)

3. 商集定义

A/R：A上R的等价类组成的集合(就是A用R划分的结果)例子(对应刚刚等价类中的那个例子)

{{1,4}，{2,5}，3}A上的等价关系有：IA 恒等关系

E 全域关系

Rij = IA U {,} (其中i不等于j，即所有点都有环，并且i和j结点有双向边。易证自反，对称，传递)

空关系不是等价关系对应的商集A/IA = {{a1},{a2},...{an}}

A/E = {{a1,a2,...,an}}

A/Rij = ai和aj为一类，其他元素各成一类

例子：求A={a,b,c}的等价关系(5种)和商集(5个)

4. 划分(和商族等价)定义：

A的一个划分是A的一个包含于A幂集的集族，满足：

集族中每个集合非空、集族中每个集合不相交，集族的并为A定理2.28：R为A上的等价关系->A/R是A的划分

A是A的划分->A的同块关系(即划分出的其中一个集合的关系)是A上的等价关系Stirling子集数

2.6 序关系

(一)偏序偏序关系R自反、反对称(反对称指：若xRy且yRx，则x=y)、传递，则称R为偏序关系

xRy记作x≤y

2. 偏序集

一个带有偏序关系≤的集合A即为偏序集，记作

3. 加细关系

划分x包含于划分y，则x是y的加细，xRy成立

4. 可比

x≤y或y≤x，则x和y可比

5. 覆盖

x≤y且x!=y，则y覆盖x

6. 哈斯图

具有偏序关系的两个结点相连接，其中若y覆盖x，则y置于x上方

哈斯图可用于绘制组织框架图

7. 全序关系

偏序集A中任意元素之间都可比，则为全序集

等价于哈斯图为直线

(二)拟序拟序关系

R反自反、传递(蕴含了R是反对称的)

2. 定理2.30拟序关系有三歧性(要么x

(x x=y

以下4组概念可以类比高数中的最大值，最小值等(严格定义见p52)

3. 最大元，最小元

4. 极大元，极小元

5. 上界，下界

6. 上确界，下确界

7. 链，反链

偏序集中两两都可比，就是链，否则是反链

总结：

偏序是自反，传递，反对称。实数上的小于等于是偏序关系

拟序是反自反，传递，反对称。实数上的小于是偏序关系

3.1 函数

(一)函数的基本概念函数F：F为一个二元关系，且F是单值的(单值：domF中每个x至多对应ranF中一个y)

偏函数：domF包含于A，ranF包含于B，即A中每个x在F上不一定有B中对应的y，严格定义见p58

真偏函数：在偏函数的基础上，domF真包含于A，即A中一定有x在F上没有有B中对应的y，严格定义见p58

全函数：A中每个x在F上一定有B上对应的y

(之后讨论的都是全函数上的情况)

(二)函数的性质单射：F是单根的

满射：值域=B

双射：x和y一一对应

象和原象

特征函数

单调函数(定义在任意的偏序关系上)

自然映射

f: A->A/R(映射到等价类上)函数的合成

反函数

4.1 自然数的定义封闭：F是函数，F(A)属于A -> F是A上的一元运算

皮亚诺系统： F:M->MF是单射

e不属于F的值域

e属于M

M最小

M在F下封闭后继运算：A+=A U {A}

归纳集D：集合D含有空集合，且对后继运算封闭

自然数用集合定义：属于每个归纳集的集合。从空集合出发，做有限次后继运算的集合一定是自然数集(0对应空集合，1对应空集合的后继，以此类推)

自然数集N：包含于每个归纳集的集合。N=归纳集D的广义交

后继函数：N->N

后继函数是单射定理4.1 自然数集是归纳集

定理4.2 为皮亚诺系统

定理4.3 任何自然数的元素均为它的子集

定理4.4 m,n属于自然数集，m的后继属于n的后继 等价于 m属于n

定理4.5 任何自然数都不是自己的元素

定理4.6 空集属于除0以外的任何自然数

定理4.7 单歧性：m属于n，m=n和n属于m有且仅有一个成立

4.2 自然数的性质传递集：A中的任何元素也是A的元素

自然数是传递集

定理4.10

A是传递集，等价于A的广义并包含于A，等价于y属于A，有y包含于A，等价于A包含于P(A)定理4.11

A为传递集，等价于P(A)为传递集定理4.12

A为传递集，等价于A后继运算的广义并为A定理 4.13

每个自然数都是传递集自然数集合N时传递集

自然数集上的二元运算加法

乘法

5.1 集合的等势等势：

A与B等势：存在f，使A->B双射

eg.整数集和自然数集是等势的康托定理：

任何的集合A和它的幂集P(A)之间都不能建立双射有穷集：

与某个自然数等势的集合，不能与自己的真子集建立双射的集合无穷集

不能与自然数等势的集合

5.2 基数

集合等势则基数card相同

对自然数集N，cardN= N(阿列夫)

card A = Ni, 则card P(A) = Ni=1