数理统计之置信区间2

1：枢轴量

2：单个正态总体均值的区间估计 $\sigma^2$ 已知

3：单个正态总体均值的区间估计 $\sigma^2$ 未知

4：例子

一枢轴量

1.1 目的：给定未知变量 $\theta$ ,以及样本 $X_1,X_2,...X_n$

求出置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间

1.2 方法：

1：随机变量G,G的分布已知

2：找到a<b,使得 $P(a<G<b)\geq 1-\alpha$

G是关于 $\theta$ 和样本 $X_1,X_2,...X_n$ 的函数

3：从a<G<b ,解出 $\hat{\theta}_L<\theta<\hat{\theta}_U$

$(\hat{\theta}_L,\hat{\theta}_U)$ 就是参数的双侧置信区间

$G(X_1,X_2,...X_n;\theta)$ 称为枢轴量

1.4 例： $X_1,X_2,...X_n$ 为样本，总体 $X \sim N(u,\sigma^2)$ , $u,\sigma$ 为未知参数

要估计u

解：

$G_1=\frac{\bar{X}-u}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ,因为有未知参数 $\sigma$ ,所有不是枢轴量

$G_2=\frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$ ，分布已知，只含有估计量u和样本，所以是枢轴量

1.5 由于a,b 可能有很多，如何取a,b

1: Neyman 原则：求a,b 使得区间长度最短

2：如果最優解不存在，對於連續總體，長取 $P(G\leq a)=P(G\geq b)=\frac{\alpha}{2}$

3：從 $a<G<b$ ，解出 $\hat{\theta}_L<\theta<\hat{\theta}_U$

如果是双侧置信区间，有如下性质

$\hat{\theta}_L$ 是 $1-\alpha/2$ 置信区间的下限

$\hat{\theta}_U$ 是 $1-\alpha/2$ 置信区间的上限

二单个正态总体的均值区间估计 $\sigma^2$ 已知

假设 $X \sim N(u,\sigma^2)$ , $X_1,X_2,...X_n$ 为样本， $\bar{X},S^2$ 为样本均值和方差，置信度为 $1-\alpha$

2.1 $\sigma^2$ 已知

因为 $G=\frac{\bar{X}-u}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

设常数a,b

$P\begin{Bmatrix} a<G<b \end{Bmatrix}\geq 1-\alpha$

等价于

$P\begin{Bmatrix} \bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}*b<u<\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}*a\end{Bmatrix}\geq 1-\alpha$

因为对称

所以置信区间长度

$L=\frac{(a-b)\sigma}{\sqrt{n}}=2Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中 $Z_{\alpha/2}$ 为上分位数，查正态分布表的时候 $\Phi (n)=1-\alpha/2$ ,得到分位数n

当置信度 $1-\alpha$ 增大的时候，区间长度L也增大，精度下降

所以双侧置信区间为

$[\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}]$

单侧置信区间下限为

$\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha}$

注：

$P\begin{Bmatrix} G>Z_{\alpha} \end{Bmatrix}=1-\alpha$ :

$G=\frac{\bar{X}-u}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

同理单侧置信上限为：

$\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha}$

三单个正态总体的均值区间估计 $\sigma^2$ 未知

$G=\frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

令 $a= t_{\alpha/2}(n-1)$ -a<G<a 解得的置信区间为

$\bar{X}-\frac{S}{n}a<u<\bar{X}+\frac{S}{n}a$

单侧置信区间下限为 $\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$

单侧置信区间上限为 $\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$

四例子

4.1 设新生儿童体重服从正态分布 $N(u,\sigma^2)$ ,从某个医院随机抽取16个儿童，体重如下

data = [3200,3050,2600,3530,\
3840,4450,2900,4180,\
2150,2650,2750,3450,\
2830,3730,3620,2270]

求置信区间为95%的双侧置信区间

解：

1: 如果 $\sigma^2$ 未知，服从t（n-1）分布

置信区间为：

[ $\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$ , $\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$ ]

$\bar{X}=3200,s=665.48,t_{0.025}(15)=2.1315$

带入：置信区间下限2845.38 置信区间上限3554.62

2: 如果 $\sigma=500$ ,方差已知，则服从正态分布

置信区间为

$[\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}]$

$Z_{0.025}=1.96$

置信区间下限2955.00 置信区间上限3445.00

import numpy as np
import scipy.stats as ss
from scipy.stats import norm'''获取分位数值a,t分布和正态分布都是对称函数
Args:n: 自由度,t分布才有alpha: 累积积分，p(x>a)=alphaFtype: 0:符合正态分布  1： t分布
'''
def GetQuantile(tp=1,n=15,alpha=0.025):if 1==tp:print("\n t 分布")normt = ss.t(n)x = -normt.ppf(alpha)## 累积分布概率计算反函数else:print("\n 标准正太分布 ")x= -norm.ppf(0.025,loc=0,scale=1)print("\n x %6.3f"%x) return x

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Apr 23 16:26:20 2021@author: chengxf2
"""import numpy as npdef ConfidenceInterval(sigma=-1):data = [3200,3050,2600,3530,\3840,4450,2900,4180,\2150,2650,2750,3450,\2830,3730,3620,2270]n = len(data)u =np.mean(data)s = 0.0for x in data:s+= np.power(x-u,2)sd = np.sqrt(s/(n-1))print("\n 样本均值 ",u, "\t 样本方差%6.2f"%sd )if sigma == -1: #t 分布      Quantile = 2.1315std = sd #样本差else:Quantile = 1.96 #分位数,查表可以得到std= sigma #方差print("\n u ",u,"\t n: ",n)low = u-Quantile*(std/np.sqrt(n))up = u +Quantile*(std/np.sqrt(n))print("\n 置信区间下限%6.2f"%low, "\t 置信区间上限%6.2f"%up)ConfidenceInterval(-1)

4.2 某种样本的寿命服从正态分布，现在随机抽取10个，样本方差S=0.92,样本均值 $\bar{X}=5.78$ ,

求u得置信水平为95%的单侧置信区间下限

解：

$a=\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha }(n-1)$

'''
單測區間估計
'''
def GetM():quantile= GetQuantile(1,0.05,9) print("\n 分位数",quantile)xmean = 5.78 #樣本均值s= 0.92 #方差  n = 10 #樣本總數low = xmean- (s/np.sqrt(n))*quantileprint("\n low %5.2f"%low)输出 5.25

4.3 1500人，身高高于180的，有375人，求180cm比例P的置信水平为95%的置信区间

解：

$\hat{p}=\bar{x}=375/1500=0.25$

$\hat{s}=p(1-p)=0.1875$

近似区间

$[\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}Z_{0.025}, \bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}Z_{0.025},]$

'''
單測區間估計
'''
def GetM():quantile= GetQuantile(1,0.025,1500-1) print("\n 分位数",quantile)xmean = 0.25#樣本均值s=  np.sqrt(0.1875) #方差  n = 1500 #樣本總數low = xmean- (s/np.sqrt(n))*quantileup = xmean+ (s/np.sqrt(n))*quantileprint("\n 下限 %5.3f"%low)print("\n 上限 %5.3f"%up)
===========t 分布 1499x  1.962分位数 1.9615478106169353下限 0.228上限 0.272

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