【noi.ac】#283. 唐时月夜

题目

唐时月夜
题目背景
Oh, how beautiful it used to be

Just you and me far beyond the sea,

The waters’ scarce in motion

Quivering still.

题目描述
小X是一名X国的附魔师。

静谧的月夜，水域中倒映着明亮的夜空，这正是水域中魔力最旺盛的时候。小X面前的水域可以被分成N行M列的子水域，每一片子水域存在「魔力值」Ai,j。根据「水域之书」的记载，存在线性递推序列f0=c,fi=a×fi−1+b (i≥1)，初始时，「魔力值」矩阵满足
Ai,j=f(i−1)×M+j
小X需要根据「预言」的指示按顺序对这片水域施展Q次魔法，具体来说，「预言」的指示分为以下几种：

1、选定一个矩形的子水域A[x1…x2,y1…y2]，对其进行「左右倒置」操作，即对于这个子水域的每一行，翻转「魔力值」序列。

2、选定一个矩形的子水域A[x1…x2,y1…y2]，对其进行「上下倒置」操作，即对于这个子水域的每一列，翻转「魔力值」序列。

3、选定一个正方形的子水域A[x1…x2,y1…y2]，对其进行「行列倒置」操作，即沿着这个子水域的主对角线，翻转「魔力值」矩阵。

同时，为了保证施法的连续性，「预言」的指示保证如果一片子水域曾经被操作过，那么在之后的施法中，这片子水域也一定会被操作。

在完成全部的施法后，小X需要根据「魔力值」矩阵，计算出「魔力神谕」，即
N
∑
i=1
M
∑
j=1 Ai,j×f(i−1)×M+j
由于「魔力神谕」可能很大，小X只需要知道「魔力神谕」在模232意义下的数值就可以了。

输入格式
第一行一个整数Num，表示测试点编号，以便选手方便地获得部分分，你可能不需要用到这则信息，样例中Num的含义为数据范围与某个测试点相同。

接下来一行3个整数N,M,Q，分别表示水域的大小，以及「预言」指示的次数。

接下来一行3个整数a,b,c，表示「水域之书」中记载的线性递推序列。

接下来Q行，每行5个整数opt,x1,y1,x2,y2，表示「预言」的一次指示。

输出格式
输出一行一个整数Ans，表示「魔力神谕」在模232意义下的数值。

样例1输入
2
3 4 3
1 1 0
1 2 2 3 3
2 2 2 3 4
3 1 2 3 4
样例1输出
576
样例1解释
初始时，「魔力值」矩阵如下：
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 )
在第1次「预言」的指示后，「魔力值」矩阵如下：
( 1 2 3 4 5 7 6 8 9 11 10 12 )
在第2次「预言」的指示后，「魔力值」矩阵如下：
( 1 2 3 4 5 11 10 12 9 7 6 8 )
在第3次「预言」的指示后，「魔力值」矩阵如下：
( 1 2 11 7 5 3 10 6 9 4 12 8 )
可以计算得到「魔力神谕」在模232意义下的数值为576。

样例2
见下发文件ex_evernight2.in，ex_evernight2.out

点此下载

数据范围与约定
对于所有测试数据，保证1≤N,M≤4×103，0≤Q≤2×105，0≤a,b,c<232，opt∈{1,2,3}，1≤x1≤x2≤N，1≤y1≤y2≤M。

对于opt=3的指示，保证x2−x1=y2−y1。

保证如果一片子水域曾经被操作过，那么在之后的施法中，这片子水域也一定会被操作。

详细的数据范围见下表。

思路

一旦某一个矩形的子水域被操作了，那么其中所有元素的相邻关系就确定下来，我
们只会对其整体进行操作。
那么，我们可以在全局维护这些对当前矩形整体进行的操作的效果，其实质上是一
个对位置的线性变换，在操作不同的矩形的时候将新增的部分拼接上去即可。
时间复杂度 O(N × M + Q) 。
具体实现的时候，笔者采用了一种直观的方式，即维护所有点的相邻关系，以及当
前矩形上、下、左、右边界的有序点集。在操作时，我们只需交换和翻转一些点集即可，
翻转可以通过标记来实现；而这样的实现方式中，拼接的过程将会比较直观。最后，我
们可以依据整个矩形的上、左边界，以及所有点的相邻关系来还原矩阵。
但是，这样的做法将会带来较大的常数，远远不及直接用线性变换的观点来实现本
题，这也是本题时间限制较长的原因。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define y1 yl
using namespace std;
const int N=4010, M=200010;
int n,m,Q,opt,x1,x2,y1,y2,a[N][N];
unsigned int A,B,ans,f[N*N];
struct jz{int z[3][3];} b[M];
jz operator * (const jz &a,const jz &b) {jz c=(jz){{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}};for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++) if (b.z[i][j]!=0)for(int k=0;k<3;k++) c.z[i][k]+=b.z[i][j]*a.z[j][k];return c;
}
int read() {int tmp=0, fh=1; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') fh=-1; c=getchar();}while (c>='0'&&c<='9') tmp=tmp*10+c-48, c=getchar();return tmp*fh;
}
int main() {read();n=read(); m=read(); Q=read();scanf("%u%u%u",&A,&B,&f[0]);for(int i=1;i<=n*m;i++) f[i]=A*f[i-1]+B;for(int q=1;q<=Q;q++) {opt=read(); x1=read(); y1=read(); x2=read(); y2=read();a[x1][y1]++; a[x2+1][y1]--; a[x1][y2+1]--; a[x2+1][y2+1]++;if (opt==1) b[q]=(jz){{{1,0,0},{0,-1,y1+y2},{0,0,1}}};if (opt==2) b[q]=(jz){{{-1,0,x1+x2},{0,1,0},{0,0,1}}};if (opt==3) b[q]=(jz){{{0,1,x1-y1},{1,0,y1-x1},{0,0,1}}};}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];for(int q=Q-1;q>0;q--) b[q]=b[q]*b[q+1];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {if (!a[i][j]) ans+=f[(i-1)*m+j]*f[(i-1)*m+j];else {opt=Q-a[i][j]+1;int ii=b[opt].z[0][0]*i+b[opt].z[0][1]*j+b[opt].z[0][2];int jj=b[opt].z[1][0]*i+b[opt].z[1][1]*j+b[opt].z[1][2];ans+=f[(i-1)*m+j]*f[(ii-1)*m+jj];}}printf("%u\n",ans);}

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