AcWing 1083 Windy数

题目描述：

Windy 定义了一种 Windy 数：不含前导零且相邻两个数字之差至少为 2 的正整数被称为 Windy 数。

Windy 想知道，在 A 和 B 之间，包括 A 和 B，总共有多少个 Windy 数？

输入格式

共一行，包含两个整数 A 和 B。

输出格式

输出一个整数，表示答案。

数据范围

1≤A≤B≤2×10^9

输入样例1：

1 10

输出样例1：

输入样例2：

25 50

输出样例2：

分析：

方法一：动态规划

本题是简单的数位DP问题，唯一要注意的是对前导0的处理。状态表示f[i][j]表示i为数最高位是j的windy数的个数，不过与上一题的表示不同的是，本题的i位数不包括前导零，也就是像014这样的数不会记入长度为i的windy数内，但是024会记入。这么说可能不明白，尽管去掉0后14是windy数，但是一旦再加上一位比如2014，显然就不是windy数了，而2024依旧是windy数，所以前导0在符合windy数性质情况下才会被记入f[i][j]。设n = abcde，在枚举最高位时，我们先不去枚举最高位是0的情况，在枚举完其他情况后再加上所有位数小于n的位数的windy数即可（因为这时的f数组会少统计0开头的windy数），而对于非最高位比如b所在的位置，当b不是0时，我们完全可以加上f[i + 1][0]，因为只有前导0也合法的windy数才能被接入b所在位置的后面。举个例子就是n = 400时，枚举第一位是0的时候，f[3][0]只统计了024之类的合法windy数，并未统计014这样去掉前导0后合法的windy数，所以暂时不去统计首位是0的情况。而枚举第二位是0的情况时，比如203是合法的，201不合法，f[2][0]并未统计01这样不合法的windy数，所以可以加上。具体的实现细节都是同一套模板，不再赘述，见代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 12;
int f[N][N];
void init(){for(int i = 0;i <= 9;i++)   f[1][i] = 1;for(int i = 2;i < N;i++){for(int j = 0;j <= 9;j++){for(int k = 0;k <= 9;k++){if(abs(j - k) >= 2) f[i][j] += f[i - 1][k];}}}
}
int get(int n){if(!n)  return 0;vector<int> num;while(n)    num.push_back(n % 10),n /= 10;int res = 0,last = -2;for(int i = num.size() - 1;i >= 0;i--){int x = num[i];if(x){for(int j = 1;j < x;j++){if(abs(j - last) >= 2)  res += f[i + 1][j];}if(last >= 2)  res += f[i+1][0];//不是最高位时，加上0开头的windy数}if(abs(x - last) < 2)   break;last = x;if(!i)  res++;}for(int i = 1;i < num.size();i++){//加上最高位是0的windy数for(int j = 1;j <= 9;j++){res += f[i][j];}}return res;
}
int main(){int A,B;cin>>A>>B;init();cout<<get(B) - get(A - 1)<<endl;return 0;
}

方法二：记忆化搜索

写完这题的记忆化搜索后，发现不仅DP的写法是一个套路，数位DP的dfs的写法也如出一辙，在上一题的基础上稍加改动即可。dfs的参数有当前枚举的位置u，上一个位置上的数pre，前面位置上枚举的数字是否已经小于了n的标志位flag。本题还要加一个参数zero表示之前枚举的位置是否都是0，如果都是0，那么枚举第u位就可以不受windy数规则的限制了，如果不是0，则还需要受规则的限制。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 12;
int len,num[N],f[N][N][2][2];
int dfs(int u,int pre,int flag,int zero){if(f[u][pre][flag][zero] != -1) return f[u][pre][flag][zero];if(!u)  return 1;int t,res = 0;for(int i = 0;i <= 9;i++){if(!zero && abs(i - pre) < 2)    continue;t = 0;if(zero && !i)  t = 1;if(flag && i >= num[u]){if(i == num[u]) res += dfs(u - 1,i,1,t);break;}else    res += dfs(u - 1,i,0,t);}return f[u][pre][flag][zero] = res;
}
int get(int n){if(n < 10)  return n + 1;len = 0;while(n)    num[++len] = n % 10,n /= 10;memset(f,-1,sizeof f);return dfs(len,0,1,1);
}
int main(){int a,b;while(cin>>a>>b){cout<<get(b) - get(a - 1)<<endl;}return 0;
}

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