线性代数中满足乘法交换律的运算-行列式与迹

线性代数的计算中往往乘法不满足交换律
满足交换律的运算-行列式(determinant)与迹(trace)
tr(AT)=tr(A)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(AB)=tr(BA)(AB为n×n,BA为m×m)tr(A^T)=tr(A)\\ tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\\ tr(AB)=tr(BA)(AB为n×n,BA为m×m)tr(AT)=tr(A)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(AB)=tr(BA)(AB为n×n,BA为m×m)
det(AB)=det(A)∗det(B)=det(BA)det(AB)=det(A)*det(B)=det(BA)det(AB)=det(A)∗det(B)=det(BA)
行列式乘法可交换的初等变换证明：
(EB0E)为列初等便换矩阵(AAB−E0)=(AO−EB)(EB0E)∣AO−EB∣=∣A∣∣B∣∣AAB−EO∣=(−1)n2∣−E∣∣AB∣=∣AB∣\left( \begin{array} { l l } { E } & { B } \\ { 0} & { E} \end{array}\right)为列初等便换矩阵\\ \left( \begin{array} { l l } { A } & { AB } \\ { -E } & { 0} \end{array}\right)= \left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { -E } & {B} \end{array}\right) \left( \begin{array} { l l } { E } & { B } \\ { 0} & { E} \end{array}\right)\\ \left| \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { -E } & { B} \end{array}\right|=|A||B|\\ \left| \begin{array} { l l } { A } & {AB}\\{ -E } & { O } \\ \end{array}\right|=(-1)^{n^2}|-E||AB|=|AB|\\ (E0BE)为列初等便换矩阵(A−EAB0)=(A−EOB)(E0BE)∣∣∣∣A−EOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣∣∣∣∣A−EABO∣∣∣∣=(−1)n2∣−E∣∣AB∣=∣AB∣

矩阵的初等变换与"打洞"技巧

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