MIT18.06线性代数课程笔记18:矩阵行列式的性质
课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。
课程笔记
行列式是从矩阵中计算得到的一个标量。矩阵和行列式之间必然是多对一的关系,行列式不能完全代表矩阵,但其中蕴含着很多矩阵性质相关的信息。本节首先定义了矩阵行列式应该有的三个性质,然后从这三个性质推出了其他七个性质。
指定的三个基础性质
这三个性质共同定义了行列式,利用这三个性质可以推出其他的七个性质,而且可以得到行列式的计算方法。
性质1:单位阵行列式为1
这个性质给了矩阵行列式一个单位,也是求取任意矩阵行列式的基点。
性质2:交换两个行向量使得行列式取反
线性代数里面的一个重要内容是高斯消元,性质2是消元法中的打乱矩阵对行列式的影响。
性质3:矩阵第一行的线性组合对应于矩阵行列式的线性组合
具体地,设矩阵A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢aT1aT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥A=\begin{bmatrix}a_1^T\\a_2^T\\\cdots\\a_n^T\end{bmatrix},其中aia_i为nn维向量,a1a_1为矩阵AA的第一行行向量。令矩阵B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢bTaT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥B=\begin{bmatrix}b^T\\a_2^T\\\cdots\\a_n^T\end{bmatrix},则有det(⎡⎣⎢⎢⎢⎢aT1+bTaT2⋯aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥)=det(A)+det(B)det(\begin{bmatrix}a_1^T+b^T\\a_2^T\\\cdots\\a_n^T\end{bmatrix}) = det(A)+det(B)。
从上诉性质可以很容易推出det(⎡⎣⎢⎢⎢⎢c×aT1c×aT2⋯c×aTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥)=c×det(A)det(\begin{bmatrix}c\times a_1^T\\c\times a_2^T\\\cdots\\c\times a_n^T\end{bmatrix})=c\times det(A),其中cc是一个标量。
再结合性质2,可以得出保持其他行元素不变的情况下,任意单行的线性组合都对应于矩阵行列式的线性组合。
演变的七个性质
以上诉三个性质为基础,我们可以推出行列式应用的七个性质。高斯消元在线性代数中应用广泛,以下几个性质中多个性质探讨了高斯消元过程中对行列式的影响。还有几个性质分别探讨了矩阵乘法、逆元与行列式的关系,行向量和列向量在行列式中的地位等等。
性质4:若矩阵的两个行向量相等,则行列式为0
此性质可以看做性质“不可逆矩阵的行列式为0”的子集。
证明方法很简单:交换两个相等的行向量,得到相等的矩阵从而有相同的行列式,但根据性质2,两者互为相反数,从而只能为0。
性质5:某个行向量减去其他行向量的倍数,行列式不变
也就是说高斯消元中的消除矩阵不改变矩阵行列式。
证明方法结合性质3和性质4。
性质6:某个行向量为零向量,则矩阵行列式为0
此性质同样可以看做性质“不可逆矩阵的行列式为0”的子集。
证明方法:可以看做任意矩阵相应行向量乘以0,然后结合性质3
性质7:三角阵(上三角或者下三角)的行列式为对角线上元素的累乘
若对角线上存在0元素,则可以通过消元置换等方法构造零向量,推出行列式为0。
若对角线上不存在0元素,则可以通过消元得到对角阵,而对角阵的行列式结合性质3和性质1可得为对角线上元素的累乘。
结合性质2、5、7可以通过高斯消元法得到任意矩阵的行列式。
性质8:奇异矩阵(不可逆)的行列式为0
若矩阵可逆->高斯消元之后可得无零向量的上三角矩阵->行列式不为0
若矩阵不可逆->高斯消元之后可得存在零向量的上三角矩阵->行列式为0
性质9:矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积
即det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)。
从上诉性质易得det(A−1)=1/det(A)det(A^{-1})=1/det(A),det(A2)=det(A)2det(A^2)=det(A)^2。
证明方法strang没有详细给出,笔者试着通过高斯消元法进行了简易推导:若AA或者BB奇异,则有ABAB奇异因为r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)\le \min(r(A),r(B)),从而det(AB)=0=det(A)det(B)det(AB)=0=det(A)det(B)。若AA和BB均满秩,则可以通过行变换变成对角阵,设EA=DEA=D,其中EE为行变换矩阵,DD为对角阵。对ABAB做同样的行变换,则有|det(AB)|=|det(EAB)|=|det(DB)|=|det(D)det(B)|=|det(A)det(B)||det(AB)|=|det(EAB)|=|det(DB)|=|det(D)det(B)|=|det(A)det(B)|,因为与对角阵相乘等价于各行向量乘以一个倍数,同时行变换相同,所以正负相同。
性质10:矩阵转置的行列式不变
即det(AT)=det(A)det(A^T)=det(A)。
若AA奇异,则有det(AT)=0=det(A)det(A^T)=0=det(A)。
若AA满秩,则存在LULU分解,满足A=LUA=LU,其中LL为下三角矩阵,而UU为上三角矩阵。从而det(AT)=det(UTLT)=det(UT)det(LT)=det(U)det(L)=det(LU)=det(A)det(A^T)=det(U^TL^T)=det(U^T)det(L^T)=det(U)det(L)=det(LU)=det(A)。
此性质使得行向量和列向量在行列式的意义下地位相同。
因为标量乘法具有交换律,从而行列式意义下的矩阵乘法也有交换律,即det(AB)=det(BA)det(AB)=det(BA)(对于方阵而言)。
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