跟踪(Reference Tracking) 和抗扰(Disturbance rejection)是控制算法设计的主要任务。单自由度控制器(pure feedback controllers)由于其自身的固有限制因素(Inherent Fundamental Limitations)，无法同时满足跟踪和抗扰的目的，必须在这两个性能目标之间做折衷处理(compromise between tracking performance and the disturbance rejection capability)；图1. 单自由度控制系统基本结构及传递函数(为方便说明，本文均以SISO线性系统为例)

如图1中传递函数所示，为同时实现控制系统对参数输入r的跟踪和对干扰d的抑制：需要输出Y/参考输入R的传递函数T=(1-S，S为灵敏度函数)尽可能地大(即S尽可能地小)；输出Y/干扰d的传递函数PS(P为被控对象的传递函数，被控对象确定后，P随之确定)尽可能地小。总结来看，为实现最优跟踪和抗扰，需要灵敏度函数S尽可能的小，这只能通过设计反馈控制器C来实现。

然而，如图2所示，伯德积分公式(Bode integral formula)表明灵敏度函数S的绝对值的对数值沿频域积分为定值。当灵敏度函数S在某频域段时：如果S<1，对数值为负值，此时对干扰有衰减作用，且闭环传递函数T增益较大，输出信号对参考信号跟踪较好；

如果S>1, 对数值为正值，此时对干扰有放大作用，且闭环传递函数T增益变小，输出信号无法有效跟踪参考信号；

根据伯德积分公式，灵敏度函数S无法在全频率域内都保持在较小值。即S在低频域段内维持较小值是以高频段内的较大值为代价的，即出现水床效应'waterbed phenomena'，如图2所示。对于单自由度控制系统(图1)来说，输入参考r和d通常分布在不同的频段上。因此，无法通过设计单个控制器C使得对应两个频域段上的灵敏度函数S都最小(即无法同时实现最优跟踪和抗扰)，只能在跟踪性能和抗扰性能之间进行折衷设计。图2. 伯德积分及水床效应【1】

二自由度控制器

二自由度控制器 (Two degree-of-freedom controllers)中，每个自由度分别处理抗扰和跟踪任务，从根本上克服了单自由度控制器的固有缺陷，是一种实用的控制算法设计方法。取决于另一自由度控制器在控制系统中所处位置，二自由度控制器可以分为两大类：前馈+反馈，干扰观测器+反馈；其中，前馈(Feedforward)位于控制系统外环，干扰观测器(Disturbance observer)位于控制系统内环，如图3所示：图3. 二自由度控制系统两种基本类型【2】【3】

根据被控对象及应用场景，可以选择不同类型的二自由度控制器：

前馈+反馈：前馈既可以用于改善跟踪性能，也可以用于抗扰，但通常需要相对精确的被控对象模型以及干扰信息。如图3(a)所示，当前馈以改善跟踪性能为目的时，一般可以采用输入滤波Ft(即轨迹规划)and/or 前馈补偿Fr(根据目标输出计算相应的控制输入，需要被控对象逆向模型)；当前馈用于抗扰时，为设计前馈补偿器Fd，不仅需要被控对象逆向模型，还需要准确知道干扰动态特性以及进入被控系统的方式。这类方法的难点在于，被控对象逆向模型在某些情况下(如存在死区、被控对象存在右半平面的零点或相对阶大于干扰动态特性相对阶)物理上不可实现，此时需要通过近似、附加滤波等手段处理；对于控制输入限制的问题，可能还需要优化控制(Optimal Control)等方法；

干扰观测器+反馈：大多数情况下，干扰信息并不能够准确获知或测量(如突然加载、未知扰动等)，这时必须依据模型信息和在线输入输出数据对干扰进行观测，然后基于干扰观测值，计算相应的控制值，以实现对干扰的直接补偿干扰或抑制干扰带来的不利影响【3】。干扰观测器可以作为单独/附加模块存在与控制系统中，以提高系统的抗扰能力(原有控制器则用来实现最优跟踪性能,当不存在扰动或扰动可以忽略不计时，干扰观测器没有输出，对控制系统无影响)。其关键点在于设计高性能的干扰观测器，实现对干扰的快速精确感知。

二自由度控制器中，前馈和干扰观测器的加入，使得输出Y/干扰d，输出Y/参考输入R的传递函数不再单独依赖控制器C。例如，图2(a)中加入输入滤波Ft时，输出Y/参考输入R的传递函数变为FtT，输出Y/干扰d的传递函数保持PS不变，此时可以单独设计Ft用以满足跟踪性能，设计控制器C主要满足抗扰性能。

实际中，为满足控制系统性能指标，可以在控制算法设计中综合运用前馈+反馈+干扰观测器;

几种常见干扰观测器

根据如何利用模型信息和输入输出数据(u,y)，几种常见的干扰观测器结构如图4所示。从上到下分别为基于广义内模控制GIMC(General internal model control)的干扰观测器，基于逆向标称模型的干扰观测器，基于标准型(即积分串联标准型，不是被控对象标称模型)的扩张状态观测器ESO(Extended state observer).图4. 几种干扰观测器【4】【5】【6】

以上几种干扰观测器，@瓶盖君 @FrancisZhao 两位都有相对较为专业的介绍。@瓶盖君，博士期间的研究课题就是干扰观测器，发表了很多有代表性的研究论文，回答更为专业和全面。参考文献【7】对图4(b)和(c)两种分别在频域和时域推导的观测器进行了对比研究，提出了一种相对统一的视角用以分析设计观测器。https://zhuanlan.zhihu.com/p/51875015​zhuanlan.zhihu.com各种干扰观测器优缺点比较？​www.zhihu.com

为读者方便，这里做下简单说明：图4(a)和(b)的观测器都频域内提出，都是开环形式，都要求相对精确的被控对象模型(和标称模型不匹配的部分即为干扰)，其关键在如何设计滤波器Q(s)。两者区别在于，图4(a)的观测器不需要对标称模型求逆，有效避免了被控对象为非最小相位系统(即被控对象有不稳定的零点)带来的问题；值得注意的是，图4(a)、(b)中的观测器只给出了基本实现形式，基于Youla分解，实际的观测器结构可以采用多种形式，观测出来的扰动d0也不一定直接在输入段直接进行补偿；

图4(c)的观测器继承了Luenberge observer的思想，是一种时域、闭环观测器，同时不需要被控对象的精确信息(只需要知道系统阶数/相对阶以及输入增益系统)。与Luenberge observer和以上两种观测器不同，扩张状态观测器观测的是总扰动(异于标准型的一切扰动、如未建模动态、外部干扰、参数变化都归结在总扰动内)，是自抗扰控制ADRC的核心部分，相关说明可以参考下面的文章。其关键在于设计观测器增益(这里为方便对比，将观测器增益笼统表示为观测器增益传递函数Q_ESO)。https://zhuanlan.zhihu.com/p/260480454​zhuanlan.zhihu.com

【备注】为保证干扰观测器带宽，使用高增益时，将不可避免放大测量噪声n的不利影响。因此，在设计干扰观测器时，应该进行有针对性的处理，如和Kalman filter相结合【5】、采用串级结构【8】等。

总结

二自由度控制器由于克服了单自由度控制器的固有缺陷，已经成功运用于不同系统的控制算法设计中。在干扰观测器的设计方法、对不同干扰的补偿，鲁棒性分析、干扰观测器和前馈的等效上(作者认为，从频域来说，前馈应该和干扰观测器存在某种等效，揭示这种等效关系，从而互相借鉴设计思路，有助于更好设计前馈和干扰观测器)，仍存在着一系列开放问题，有待进一步研究。

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【参考文献】

[1]. Karl Johan Åström, Richard M. Murray. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

[2]. Liu L , Tian S , Xue D , et al. Industrial feedforward control technology: a review. Journal of Intelligent Manufacturing, 2018.

[3]. Chen, Wen-Hua, et al. “Disturbance-Observer-Based Control and Related Methods—An Overview.” IEEE Trans. Indust. Elect., vol. 63, no. 2, 2016, pp. 1083–1095.

[4]. Zhou K , Ren Z . A new controller architecture for high performance, robust, and fault-tolerant control[C]// Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE, 2001.

[5]. Sariyildiz E, Oboe R, Ohnishi K . Disturbance Observer-based Robust Control and Its Applications: 35th Anniversary Overview. IEEE Trans. Indust. Elect., 2019:1-1.

[6]. Huang, Yi, and Wenchao Xue. “Active Disturbance Rejection Control: Methodology and Theoretical Analysis.” ISA Trans., vol. 53, no. 4, 2014, pp. 963–976.

[7]. Jinya Su, Wen-Hua Chen, Jun Yang. On Relationship Between Time-Domain and Frequency-Domain Disturbance Observers and Its Applications. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, ASME, 2016.

[8]. Łakomy, Krzysztof, et al. “Active Disturbance Rejection Control with Sensor Noise Suppressing Observer for DC-DC Buck Power Converters.” Arxiv:Eess.SY, 2020.