Square Card 计算几何-两圆相交面积

题意：

给两个圆，分别代表得分区域和奖励区域，边长为a的正方形以均等概率扔到平面后绕中心旋转，保证一定会有某时刻正方形完全在得分区域内。
如果某时刻正方形完全落在区域内，获得相应分数，求正方形既获得得分又获得奖励的概率比正方形仅能获得得分的比率。

思路：

要使正方形有可能被一个圆完全包含，它的中心轨迹一定是一个圆，所以本题就转化成了计算两圆相交面积与第一个圆面积的比值。
一些细节，数据中奖励区域不一定能完全包含正方形，以及两圆位置的不同情况（相离，包含，相交）要分类讨论。
计算方法：首先考虑两圆的位置关系，若为相交，用余弦定理求得三角形圆心处的角度，然后计算两个扇形的面积，再减去两个三角形的面积（即两对角线互相垂直的四边形面积），得到的恰好就是两圆相交部分的面积。

1.两圆相离：

判定条件：两圆半径之和大于等于圆心距

计算方法：显然相交面积为0

2.两圆相含：两圆半径之差小于等于圆心距

计算方法：显然相交面积为较小圆的面积

3.两圆相交：以上两种情况以外

计算中使用到的公式：

cos是余弦函数，acos是求反余弦
余弦定理 cosß=a2+b2−c22abcosß = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a b}cosß=2aba2+b2−c2
扇形面积（利用角度） S=12αr2S=\frac{1}{2}\alpha r^2S=21αr2
两对角线互相垂直的四边形面积 S=12×积S=\frac{1}{2} \times {积}S=21×积

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#include <map>
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
typedef long long ll;struct point
{double x, y;
};double calc(point a, double r1, point b, double r2)
{double dist = sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));if (r1 + r2 <= dist) return 0;if (r1 > r2) swap(r1, r2);if (r2 - r1 >= dist) return pi * r1 * r1;double ang1 = acos((r1 * r1 + dist * dist - r2 * r2) / (2.0 * r1 * dist));double ang2 = acos((r2 * r2 + dist * dist - r1 * r1) / (2.0 * r2 * dist));return ang1 * r1 * r1 + ang2 * r2 * r2 - dist * r1 * sin(ang1);
}int main()
{int T;scanf("%d", &T);while (T -- ){double r1, x1, y1, r2, x2, y2, aa;scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &r1, &x1, &y1, &r2, &x2, &y2, &aa);if (r1 * r1 - aa * aa / 4 <= 0 || r2 * r2 - aa * aa / 4 <= 0){cout << "0.000000" << endl;continue;}point a = {x1, y1}, b = {x2, y2};double r3 = sqrt(r1 * r1 - aa * aa / 4) - aa / 2, r4 = sqrt(r2 * r2 - aa * aa / 4) - aa / 2;double res = calc(a, r3, b, r4);printf("%.6lf\n", res / (pi * r3 * r3));}return 0;
}

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