单磁带存储

相同查询频率

这一章介绍优先策略与分治策略，我们从一个简单的例子开始介绍优先策略。考虑非常简单的磁带存储问题：如果我们把nnn个文件存储在磁带上，那么这nnn个文件只能按存储顺序进行读写，假设Li,i=1,⋯,nL_i,i=1,\cdots,nLi,i=1,⋯,n表示第iii个文件长度，假设查询每个文件的概率相同，求最优的文件存储顺序。

假设σ\sigmaσ表示一个nnn阶的排列，即σ∈Pn\sigma \in P_nσ∈Pn。我们可以用排列来表示文件存储的顺序，即σ(1),⋯,σ(n)\sigma(1),\cdots,\sigma(n)σ(1),⋯,σ(n)，其中σ(i)∈{1,⋯,n}\sigma(i) \in \{1,\cdots,n\}σ(i)∈{1,⋯,n}表示第iii个文件被存放在第σ(i)\sigma(i)σ(i)个位置，记j=σ(i)j=\sigma(i)j=σ(i)，则第iii个文件前面还有j−1j-1j−1个文件，读完第iii个文件需要的总长度为
∑k=1jLσ−1(k)\sum_{k=1}^{j}L_{\sigma^{-1}(k)}k=1∑jLσ−1(k)

基于这个发现，我们可以计算给定一个排列，查询一次文件平均需要读的长度，并且以此定义寻找最优存储顺序的最优化问题：
min⁡σ∈Pn1n∑j=1n∑k=1jLσ−1(k)\min_{\sigma \in P_n} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}L_{\sigma^{-1}(k)}σ∈Pnminn1j=1∑nk=1∑jLσ−1(k)

因为查询每个文件的概率相同，直觉上我们应该把小文件放前面，大文件放在后面，也就是σ\sigmaσ要满足
Lσ−1(1)≤⋯≤Lσ−1(n)L_{\sigma^{-1}(1)} \le \cdots \le L_{\sigma^{-1}(n)}Lσ−1(1)≤⋯≤Lσ−1(n)

证明
注意到σ−1\sigma^{-1}σ−1也是一个nnn阶排列，记τ=σ−1,τ∈Pn\tau = \sigma^{-1},\tau \in P_nτ=σ−1,τ∈Pn。定义
S(τ)=∑j=1n∑k=1jLτ(k)=∑k=1n(n−k+1)Lτ(k)S(\tau)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}L_{\tau(k)} = \sum_{k=1}^n(n-k+1)L_{\tau(k)}S(τ)=j=1∑nk=1∑jLτ(k)=k=1∑n(n−k+1)Lτ(k)

假设τ\tauτ使得字长满足
Lτ(1)≤⋯≤Lτ(n)L_{\tau(1)} \le \cdots \le L_{\tau(n)}Lτ(1)≤⋯≤Lτ(n)

如果交换τi\tau_{i}τi与τj\tau_{j}τj (j>ij>ij>i)，即定义τ′\tau'τ′满足
τ′=(1⋯i⋯j⋯nτ(1)⋯τ(j)⋯τ(i)⋯τ(n))\tau' = \left( \begin{matrix} 1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ \tau(1) & \cdots & \tau(j) & \cdots & \tau(i) & \cdots & \tau(n)\end{matrix} \right)τ′=(1τ(1)⋯⋯iτ(j)⋯⋯jτ(i)⋯⋯nτ(n))

那么这会导致SSS增加
S(τ′)−S(τ)=[(n−i+1)Lτ(j)+(n−j+1)Lτ(i)]−[(n−i+1)Lτ(i)+(n−j+1)Lτ(j)]=(j−i)(Lτ(j)−Lτ(i))>0S(\tau')-S(\tau) = [(n-i+1)L_{\tau(j)}+(n-j+1)L_{\tau(i)}]\\ -[(n-i+1)L_{\tau(i)}+(n-j+1)L_{\tau(j)}] = (j-i)(L_{\tau(j)}-L_{\tau(i)})>0S(τ′)−S(τ)=[(n−i+1)Lτ(j)+(n−j+1)Lτ(i)]−[(n−i+1)Lτ(i)+(n−j+1)Lτ(j)]=(j−i)(Lτ(j)−Lτ(i))>0

因此
τ=arg min⁡σ∈Pn1n∑j=1n∑k=1jLσ−1(k)\tau = \argmin_{\sigma \in P_n} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}L_{\sigma^{-1}(k)}τ=σ∈Pnargminn1j=1∑nk=1∑jLσ−1(k)
证毕

相同文件长度

假设nnn个文件长度相同，但查询频率分别为f1,⋯,fnf_1,\cdots,f_nf1,⋯,fn，其中
f1+⋯+fn=1f_1+\cdots+f_n = 1f1+⋯+fn=1

则最优存储顺序为查询频率高的文件放在前面，查询频率低的文件放后面。

证明
同样用nnn阶排列表示存放顺序，并且不失一般性，用1表示文件长度，则读完第iii个文件需要的总长度为
∑k=1j1=j\sum_{k=1}^{j}1 = jk=1∑j1=j

对应的频率是fσ−1(j)f_{\sigma^{-1}(j)}fσ−1(j)，因此这时的最优化问题变成了
min⁡σ∈Pn∑j=1njfσ−1(j)\min_{\sigma \in P_n} \sum_{j=1}^{n} jf_{\sigma^{-1}(j)}σ∈Pnminj=1∑njfσ−1(j)

记τ=σ−1,τ∈Pn\tau = \sigma^{-1},\tau \in P_nτ=σ−1,τ∈Pn。定义
S(τ)=∑j=1njfτ(j)S(\tau)=\sum_{j=1}^{n} jf_{\tau(j)}S(τ)=j=1∑njfτ(j)

假设τ\tauτ使得查询频率满足
fτ(1)≥⋯≥fτ(n)f_{\tau(1)} \ge \cdots \ge f_{\tau(n)}fτ(1)≥⋯≥fτ(n)

沿用上一个证明对τ′\tau'τ′的证明，计算

S(τ′)−S(τ)=[ifτ(j)+jfτ(i)]−[ifτ(i)+jfτ(j)]=(j−i)(fτ(i)−fτ(j))>0S(\tau')-S(\tau) = [if_{\tau(j)}+jf_{\tau(i)}] -[if_{\tau(i)}+jf_{\tau(j)}] \\= (j-i)(f_{\tau(i)}-f_{\tau(j)})>0S(τ′)−S(τ)=[ifτ(j)+jfτ(i)]−[ifτ(i)+jfτ(j)]=(j−i)(fτ(i)−fτ(j))>0

证毕

查询频率与文件长度均不同

假设nnn个文件长度不同，并且查询频率也不同，最优存储顺序为平均每字查询频率高的文件放在前面，平均每字查询频率低的文件放后面。
证明
证明方法与前文完全一样。读完第iii个文件需要的总长度为
∑k=1jLσ−1(k)\sum_{k=1}^{j}L_{\sigma^{-1}(k)}k=1∑jLσ−1(k)

对应的频率是fσ−1(j)f_{\sigma^{-1}(j)}fσ−1(j)，因此最优化问题可以写成
min⁡σ∈Pn∑j=1nfσ−1(j)∑k=1jLσ−1(k)\min_{\sigma \in P_n} \sum_{j=1}^{n}f_{\sigma^{-1}(j)}\sum_{k=1}^{j}L_{\sigma^{-1}(k)}σ∈Pnminj=1∑nfσ−1(j)k=1∑jLσ−1(k)

记τ=σ−1,τ∈Pn\tau = \sigma^{-1},\tau \in P_nτ=σ−1,τ∈Pn使之满足
fτ(1)/Lτ(1)≥⋯≥fτ(n)/Lτ(n)f_{\tau(1)}/L_{\tau(1)} \ge \cdots \ge f_{\tau(n)}/L_{\tau(n)}fτ(1)/Lτ(1)≥⋯≥fτ(n)/Lτ(n)

用前两个证明的思路，可以说明τ\tauτ是最优解。

证毕

根据上面的论述，在计算上，我们把最优存储问题变成了排序问题，这就是优先策略的体现，因为我们是按照平均每字查询频率优先的原则对文件进行排序的。对于这一类找最优pecking order的问题，优化的目标是最大化gain或者最小化cost，在确定pecking order的时候，我们应该按每一次pecking的marginal gain最大、或者marginal cost最小的原则进行，这就是优先策略的思想。

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