UA SIE545 优化理论基础5 搜索与整数规划1 DFS算法

DFS方法基础
邮票问题

这部分的主要目标是建立求解整数规划的方法，早期解决整数规划需要穷举，后来人们把搜索技术应用到整数规划中，极大地提高了整数规划求解地效率，最常被用到的两种技术是DFS和分支定界，所以这部分就从这两种技术开始介绍，然后讨论怎么用来解决整数规划问题。

DFS方法基础

DFS全称是Depth First Search，也就是深度优先搜索。这个算法思路很简单，就是莽就完了，但莽的时候要记录莽过的路径，下一个位置不符合要求就可以退回来重新莽。下面用一个简单的例子说明，假设在一个4×44\times 44×4的棋盘上要放四个棋子，每两个棋子不能位于同一行同一列同一对角线，要计算所有的放法。

首先讨论一下穷举法，在4×44 \times 44×4的棋盘上放四个棋子的放法一共有44=2564^4=25644=256种，因此用穷举法需要对256种可能性进行判断。（如果我是随便做做估计就穷举了，毕竟不用动脑筋而且运算量也不大）但显然用穷举来做估计是拿不到分的，我们要根据题目的限制条件来做搜索。

简单阐述一下DFS解决这个问题的思想。假设第一个棋子放在第一行，第二个放在第二行，以此类推，用i,j,k,li,j,k,li,j,k,l表示第1-4行的棋子的位置。第一步，考虑(1,j,k,l)(1,j,k,l)(1,j,k,l):

O	X	X	X
X	X
X		X
X			X

O代表对应位置放上了棋子，X代表对应位置不能再放棋子了。从这个图可以看出，i=1i=1i=1，也就是第一个棋子放在第一行第一个位置以后，第二个棋子只能在j=3,4j=3,4j=3,4的位置，假设优先搜索靠左的位置，接下来我们考虑(1,3,k,l)(1,3,k,l)(1,3,k,l)：

O	X	X	X
X	X	O	X
X		X
X		X	X

现在放第三个棋子，显然它只能在k=2,4k=2,4k=2,4的位置，接下来就考虑(1,3,2,l)(1,3,2,l)(1,3,2,l):

O	X	X	X
X	X	O	X
X	O	X	X
X	X	X	X

于是路就走不通了，第四个棋子没位置了，那么我们退回去，考虑(1,3,4,l)(1,3,4,l)(1,3,4,l):

O	X	X	X
X	X	O	X
X	X	X	O
X		X	X

最后剩下l=2l=2l=2这个位置，它是符合要求的，那么(1,3,4,2)(1,3,4,2)(1,3,4,2)就构成了第一条通路。现在我们记录下通路的信息，然后回到第二个棋子处，考虑(1,4,k,l)(1,4,k,l)(1,4,k,l):

O	X	X	X
X	X	X	O
X		X	X
X			X

第三个棋子没得选，那就放在第二个位置

O	X	X	X
X	X	X	O
X	O	X	X
X	X		X

最后第四个棋子只能放在第三个位置，因此(1,4,2,3)(1,4,2,3)(1,4,2,3)构成了第二条通路。这样我们就完成了i=1i=1i=1的所有搜索，下面的步骤就是对i=2,3,4i=2,3,4i=2,3,4做同样的搜索。

邮票问题

邮局发行了一套有nnn种不同面值的邮票，记面值为(S1,⋯,Sn)(S_1,\cdots,S_n)(S1,⋯,Sn)（Si<Si−1S_i < S_{i-1}Si<Si−1），每个信封最多能贴mmm张邮票，为了保证这套邮票可以贴出(1,2,⋯,N)(1,2,\cdots,N)(1,2,⋯,N)这些面值，请问面值应该怎么设计？

假设rrr是一个自然数，如果它是能被这套邮票表示的面值，那么∃{t1,⋯,tn}⊂N\exists \{t_1,\cdots,t_n\} \subset \mathbb{N}∃{t1,⋯,tn}⊂N,
r=∑i=1ntiSi,∑i=1nti≤mr = \sum_{i=1}^n t_i S_i,\ \ \sum_{i=1}^nt_i \le mr=i=1∑ntiSi, i=1∑nti≤m

这个问题的输入是n,mn,mn,m，输出是(S1,⋯,Sn)(S_1,\cdots,S_n)(S1,⋯,Sn)以及NNN，要实现的是
max⁡S1,⋯,SNNs.t.r=∑i=1ntiSi,∑i=1nti≤m1≤r≤N\max_{S_1,\cdots,S_N} \ \ N \\ s.t. \ \ r = \sum_{i=1}^n t_i S_i,\ \ \sum_{i=1}^nt_i \le m \\ 1 \le r \le NS1,⋯,SNmax Ns.t. r=i=1∑ntiSi, i=1∑nti≤m1≤r≤N

这是一个典型的整数规划问题，下面我们简单讨论一下怎么用DFS的思想解这个问题。先考虑搜素范围，显然
1=S1<S2<S3<⋯<Sn≤N1 = S_1 < S_2 < S_3 < \cdots < S_n \le N 1=S1<S2<S3<⋯<Sn≤N

在搜索SiS_iSi的可能取值时，要保证SiS_iSi不会大于能用前i−1i-1i−1个面值的邮票连续表示的最大整数，记为Int(S1,⋯,Si−1)Int(S_1,\cdots,S_{i-1})Int(S1,⋯,Si−1)，也就是
Si−1<Si≤Int(S1,⋯,Si−1)S_{i-1}<S_i \le Int(S_1,\cdots,S_{i-1})Si−1<Si≤Int(S1,⋯,Si−1)

按这个记号，N=Int(S1,⋯,Sn)N=Int(S_1,\cdots,S_{n})N=Int(S1,⋯,Sn)。下面以n=5n=5n=5,m=3m=3m=3为例说明一下搜索过程：

S1=1S_1=1S1=1, m=3⇒Int(S1)=3m=3 \Rightarrow Int(S_1)=3m=3⇒Int(S1)=3，因此S2∈{2,3}S_2 \in \{2,3\}S2∈{2,3}，假设更小的数被优先搜索，下面考虑S2=2S_2=2S2=2；
Int(S1,S2)=6Int(S_1,S_2)=6Int(S1,S2)=6，因此S3∈{3,4,5,6}S_3 \in \{3,4,5,6\}S3∈{3,4,5,6}，下一步考虑S3=3S_3=3S3=3
Int(S1,S2,S3)=9Int(S_1,S_2,S_3)=9Int(S1,S2,S3)=9，因此S4∈{4,5,6,7,8,9}S_4 \in \{4,5,6,7,8,9\}S4∈{4,5,6,7,8,9}，下一步考虑S4=4S_4=4S4=4
Int(S1,S2,S3,S4)=12Int(S_1,S_2,S_3,S_4)=12Int(S1,S2,S3,S4)=12，因此S5∈{5,6,7,8,9,10,11,12}S_5\in \{5,6,7,8,9,10,11,12\}S5∈{5,6,7,8,9,10,11,12}，如果S5=5S_5=5S5=5，则N=15N=15N=15。这就拿到了第一种可能面值为(1,2,3,4,5)(1,2,3,4,5)(1,2,3,4,5)，三张邮票能表示的最大面值为15，记录下这个信息后转到S5=6S_5=6S5=6，计算得到N=16N=16N=16，记录这个信息后转到S5=7S_5=7S5=7，以此类推，讨论完S5S_5S5的所有可能性后回到S4S_4S4的其他可能，然后再回到S3S_3S3和S2S_2S2的其他可能

Lunnon（1969）修正了这个算法，提出在搜索SiS_iSi的取值时可以先进行剪枝操作再搜索，可以降低算法复杂度。他认为
Si<Int(S1,⋯,Si−1)−1m,Si−1<Int(S1,⋯,Si−1)−1m2S_i<\frac{Int(S_1,\cdots,S_{i-1})-1}{m},\ \ S_{i-1}<\frac{Int(S_1,\cdots,S_{i-1})-1}{m^2}Si<mInt(S1,⋯,Si−1)−1, Si−1<m2Int(S1,⋯,Si−1)−1

这两个分支可以剪掉。沿用上面的数值例子，引入剪枝操作，简单说明一下搜索过程：

S1=1S_1=1S1=1, m=3⇒Int(S1)=3m=3 \Rightarrow Int(S_1)=3m=3⇒Int(S1)=3，因此S2∈{2,3}S_2 \in \{2,3\}S2∈{2,3}，计算Int(S1)−1m=2/3\frac{Int(S_1)-1}{m}=2/3mInt(S1)−1=2/3与S2S_2S2的可能取值比较，发现不符合剪枝条件，假设更小的数被优先搜索，下面考虑S2=2S_2=2S2=2；
Int(S1,S2)=6Int(S_1,S_2)=6Int(S1,S2)=6，因此S3∈{3,4,5,6}S_3 \in \{3,4,5,6\}S3∈{3,4,5,6}，计算Int(S1,S2)−1m=5/3\frac{Int(S_1,S_2)-1}{m}=5/3mInt(S1,S2)−1=5/3，与S3S_3S3的可能取值比较，不符合剪枝条件；计算Int(S1,S2)−1m2=5/9\frac{Int(S_1,S_2)-1}{m^2}=5/9m2Int(S1,S2)−1=5/9，与S2S_2S2的可能取值比较，不符合剪枝条件，下一步考虑S3=3S_3=3S3=3；

后续步骤以此类推，我就不打字详细说明了。

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