CodeForces - 1465E Poman Numbers(推公式+贪心)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的字符串，每个字符串实质上代表一个数字，例如：a=20，b=21，⋯，z=225a=2^0，b=2^1，\cdots，z=2^{25}a=20，b=21，⋯，z=225，现在需要寻找一种递归顺序，使得每个位置非负即正，递归规则如下：
f(S)=−f(S[1,m])+f(S[m+1,∣S∣])f(S) = -f(S[1, m]) + f(S[m + 1, |S|]) f(S)=−f(S[1,m])+f(S[m+1,∣S∣])
其中 mmm 是 [l,r][l,r][l,r] 中任意一个位置

现在问能否通过某种递归顺序，使得整个序列之和为给定的值 sumsumsum

题目分析：结论：第 nnn 个位置的符号一定为正，第 n−1n-1n−1 个位置的符号一定为负，其余 n−2n-2n−2 个位置的符号随意

简单证明，用数学归纳法，设最终的符号位为 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an，其中 ai=−1a_i=-1ai=−1 或 ai=1a_i=1ai=1：

当 n=2n=2n=2 时：显然左边为 −1-1−1，右边为 111（唯一确定）
当 n>2n>2n>2时：
1. 假设要使左边第一个为 −1-1−1，递归处理 (−a1)(a2,a3,⋯,an)(-a_1)(a_2,a_3,\cdots,a_n)(−a1)(a2,a3,⋯,an) 即可
2. 假设要使左边第一个为 111，找到从左边开始的第一个负数记为 iii，即满足 ai−1=1a_{i-1}=1ai−1=1，ai=−1a_i=-1ai=−1，则递归子问题 (−a1,−a2,⋯,−ai−1,−ai)(ai+1,⋯,an)(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_{i-1},-a_i)(a_{i+1},\cdots ,a_n)(−a1,−a2,⋯,−ai−1,−ai)(ai+1,⋯,an)，这样 aia_iai 最后一定是 −1-1−1，且 a1,a2,⋯,ai−1a_1,a_2,\cdots,a_i-1a1,a2,⋯,ai−1 都可以继续递归变成正数

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
char s[N];
int n,cnt[N];
LL f[N],sum;
void init()
{f[0]=1;for(int i=1;i<26;i++) f[i]=f[i-1]*2;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();read(n),read(sum);scanf("%s",s+1);sum-=f[s[n]-'a']-f[s[n-1]-'a'];for(int i=1;i<=n-2;i++) sum+=f[s[i]-'a'],cnt[s[i]-'a']++;for(int i=25;i>=0;i--) while(cnt[i]&&sum>=2*f[i]) sum-=2*f[i],cnt[i]--;puts(sum?"No":"Yes");return 0;
}

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