CodeForces - 466C Number of Ways(推公式/dp)

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题目大意：给出一个长度为 n 的数列，现在要求出满足条件的 ( i , j ) 的匹配数量，满足： $\sum_{k=1}^{i-1}a_k=\sum_{k=i}^{j}a_k=\sum_{k=j+1}^{n}a_k$

题目分析：训练时推的公式，简单说一下吧，维护前缀和 sum，则确定两个断点 ( i , j ) 后可以确定下来三个区间：

sum[ i - 1 ]
sum[ j ] - sum[ i - 1 ]
sum[ n ] - sum[ j ]

因为需要三段区间的权值和连等，根据等式的传递性，我们可以让前两项相等，再让后两项相等，最后不难推出三项连等，建立等式：

前两项相等：sum[ i - 1 ] = sum[ j ] - sum[ i - 1 ]，推得 2 * sum[ j ] = sum[ i - 1 ] * 4（两侧同时乘以 2，下面要用）
后两项相等：sum[ j ] - sum[ i - 1 ] = sum[ n ] - sum[ j ]，推得 2 * sum[ j ] = sum[ n ] + sum[ i - 1 ]

利用 2 * sum[ j ] 当做中间量，不难看出当确定下来 i 后，只有满足 sum[ n ] + sum[ i - 1 ] = sum[ i - 1 ] * 4 时才存在 j 与其匹配，此时只需要查找一下区间 [ i , n ] 中有多少个 j 与其匹配即可

另一种方法，是将其转换成一个很经典的 dp 模型，这里拿一下 PTA 乙级题目的题面：

字符串 APPAPT 中包含了两个单词 PAT，其中第一个 PAT 是第 2 位(P)，第 4 位(A)，第 6 位(T)；第二个 PAT 是第 3 位(P)，第 4 位(A)，第 6 位(T)。

现给定字符串，问一共可以形成多少个 PAT？

比较显然的是，假设 sum 为 n 个数之和，( i , j ) 将整个序列分成的三段大小分别都是 sum / 3（设 sum % 3 == 0），所以第一个断点的位置也就是前缀和等于 sum / 3 的位置，同理第二个断点的位置也就是前缀和等于 sum / 3 * 2 的位置，如此一来就转换成了上面那个非常经典的动态规划模型：

给定 n 个位置，问一共可以形成多少个 ( sum/3 的位置，sum/3*2 的位置)

如此一来这个题目就可以继续扩展了，诸如匹配 ( i , j , k ) 三元对的断点将数列四等分划分这样的

妙啊

代码：
推公式

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;LL sum[N];map<LL,int>mp;int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){LL num;scanf("%lld",&num);sum[i]=sum[i-1]+num;}LL ans=0;for(int i=n-1;i>1;i--)//枚举i  {mp[sum[i]*2]++;if(4*sum[i-1]==sum[n]+sum[i-1]) ans+=mp[sum[n]+sum[i-1]];}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;LL sum[N],dp[N][2];int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){LL num;scanf("%lld",&num);sum[i]=sum[i-1]+num;}if(sum[n]%3!=0)return 0*puts("0");LL mark=sum[n]/3;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<2;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j];if(i!=n){if(sum[i]==mark)dp[i][0]++;if(sum[i]==mark*2)dp[i][1]+=dp[i-1][0];}}printf("%lld\n",dp[n][1]);return 0;
}

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