求极限简单总结 (基础)

一.函数
函数的基本类型：
幂函数 y = xaxax^a
指数函数 y = axaxa^x
对数函数 y = logaxlogaxlog_{a}x，y=lnx
三角函数 y = sinx, y = cosx, y = tanx , y =contx

二.函数连续性：
函数在某一点连续的充要条件是左，右极限存在且相等，并等于该点的函数值。
即，一个函数在一点处连续必须满足三个条件：有定义，有极限，定义值与极限值相等

三.常用的等价无穷小
当φ(x)→0φ(x)→0\varphi (x) \to 0 时，有
1.幂函数 [1+φ(x)]α−1∼αφ(x)[1+φ(x)]α−1∼αφ(x) [1+\varphi (x)]^{\alpha } -1 \sim \alpha \varphi (x)
2.指数函数 eφ(x)−1∼φ(x)eφ(x)−1∼φ(x)e^{\varphi (x)} -1 \sim \varphi (x)
3.对数函数 ln(1+φ(x))∼φ(x)ln(1+φ(x))∼φ(x)ln(1+\varphi (x)) \sim \varphi (x)
4.三角函数
sinφ(x)∼φ(x)sinφ(x)∼φ(x)sin\varphi (x) \sim \varphi (x)
arcsinφ(x)∼φ(x)arcsinφ(x)∼φ(x)arcsin\varphi (x) \sim \varphi (x)
tanφ(x)∼φ(x)tanφ(x)∼φ(x)tan\varphi (x) \sim \varphi (x)
arctanφ(x)∼φ(x)arctanφ(x)∼φ(x)arctan\varphi (x) \sim \varphi (x)
1−cosφ(x)∼12φ(x)21−cosφ(x)∼12φ(x)21-cos\varphi (x) \sim \frac{1}{2}\varphi (x)^2

当x→0x→0x \to 0 时，有
1.幂函数 [1+x]a−1∼ax[1+x]a−1∼ax [1+x]^{a} -1 \sim a x
2.指数函数 ex−1∼xex−1∼xe^{ x} -1 \sim x
ax−1∼xlnaax−1∼xlnaa^{ x} -1 \sim xlna
3.对数函数 ln(1+x)∼xln(1+x)∼xln(1+ x) \sim x
4.三角函数
sinx∼xsinx∼xsin x \sim x
arcsinx∼xarcsinx∼xarcsinx \sim x
tanx∼xtanx∼xtanx \sim x
arctanx∼xarctanx∼xarctanx \sim x
1−cosx∼12x21−cosx∼12x21-cosx \sim \frac{1}{2} x^2
x−sinx∼16x3x−sinx∼16x3x-sinx \sim \frac{1}{6} x^3

四.两个重要极限
limx→0sinxx=1limx→0sinxx=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1
limx→∞(1+1x)x=elimx→∞(1+1x)x=e \lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x =e

五.求极限的方法
求极限是高等数学的主要计算问题之一，是各类考试的常考题型。求极限涉及题目量大，方法众多，常用方法有：

1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则（见例4）
2.利用极限存在准则
3.利用两个重要极限（见例5，例6）
4.利用无穷小量的性质和等价无穷小量代换（见例3，例4）
5.利用连续函数的性质的初等函数的连续性
6.利用导数的定义(Δy/ΔxΔy/Δx\Delta y/\Delta x，增量之比求极限）
7.利用洛必达法则 (分子分母求导的极限)
8.利用泰勒公式（见例3）
9.利用定积分的定义(面积求和的极限)
10.利用级数收敛的必要条件和函数的性质求极限
（收敛必存在极限，并且极限唯一）

对于一些复杂的求极限问题，有时需要综合运用多种方法，结合一些代数或三角变换才能求出。

6.导数的定义
在x0附近，y增量除以x增量的极限。
limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
===
7.利用洛必达法则
f(x),F(x)在U(a,δ)U(a,δ)U(a,\delta ) 上连续，可导，有限
0000\frac{0}{0}型 : limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=klimx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=k\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)} = k
∞∞∞∞\frac{\infty }{\infty }型 : limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=klimx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=k\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)} = k
0∗∞0∗∞0* \infty型，把其中一个因子取倒数放在分母上，化为0000\frac{0}{0}型或者 ∞∞∞∞\frac{\infty }{\infty }型
∞−∞∞−∞ \infty - \infty型，通分或者分子有理化，化为0000\frac{0}{0}型
1∞1∞1^\infty , 00000^0, ∞0∞0\infty^0，两边取对数化为0∗∞0∗∞0*\infty型，再化为0000\frac{0}{0}型或者 ∞∞∞∞\frac{\infty }{\infty }型
===
9.定积分的定义
用 “ε∼δε∼δ\varepsilon \sim \delta ” 语言来描述：
设有常数I，如果对于任意给定的正数εε\varepsilon，总存在一个正数 δδ\delta，使得对于区间[a,b]的任意分法，把S=∑ni=1f(εi)ΔxiS=∑i=1nf(εi)ΔxiS=\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i} 记作 λλ\lambda 无论 εiεi\varepsilon_{i} 在 [xi−1,xi][xi−1,xi][x_{i-1},x_{i}] 中怎样取法，只要λ<δλ<δ\lambda ，总有|∑ni=1f(εi)Δxi−I|<ε|∑i=1nf(εi)Δxi−I|<ε|\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i} - I| 成立，则称 I 是f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作 ∫baf(x)dx∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx

====

8.利用泰勒公式
泰勒公式
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2 + ...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n + R_{n}(x)
取x0x0x_{0}=0，就是麦克劳林公式
===
常用函数的麦克劳林公式
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+eθxxn+1(n+1)!ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+eθxxn+1(n+1)!e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...+\frac{x^n}{n!} + \frac{e^{\theta x}x^{n+1}}{(n+1)!} , (0<θ<1)(0<θ<1)(0
sinx=x−x33!+x55!+...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(θ)sinx=x−x33!+x55!+...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(θ)sinx = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} +o(\theta )
cosx=1−x22!+x44!+...+(−1)nx2n(2n)!+o(θ)cosx=1−x22!+x44!+...+(−1)nx2n(2n)!+o(θ)cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(\theta )
ln(1+x)=x−x22+x33−x44+...+(−1)nxnn+o(θ)ln(1+x)=x−x22+x33−x44+...+(−1)nxnn+o(θ)ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} + ... + (-1)^{n}\frac{x^{n}}{n}+o(\theta )
(1+x)a=1+ax+a∗(a−1)2!x2+a∗(a−1)∗(a−2)3!x3+...+a∗(a−1)...(a−n+1)n!xn+o(θ)(1+x)a=1+ax+a∗(a−1)2!x2+a∗(a−1)∗(a−2)3!x3+...+a∗(a−1)...(a−n+1)n!xn+o(θ) (1+x)^a = 1+ax + \frac{a*(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a*(a-1)*(a-2)}{3!}x^3 + ... + \frac{a*(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^{n}+o(\theta )

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