文章目录

函数序列及其一致收敛性
- 函数序列
- 函数序列的一致收敛性
- 函数序列一致收敛性的判别法
- 一致收敛的函数序列的性质
- 参考文献

函数序列及其一致收敛性

\quad此前，我们已经可以用收敛数列（或收敛的数项级数）来表示或定义一个数，接下来讨论：

如何由一个收敛的函数序列（或收敛的函数项级数）来表示或定义一个函数

【示例】：

（1）证明：lim⁡n→∞(1+xn)n=ex\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^n=e^xn→∞lim(1+nx)n=ex；

（2）证明：∑n=1∞(−1)nxnn=ln⁡(1+x)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x)∑n=1∞(−1)nnxn=ln(1+x).

对以上两个问题，先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数，之后。我们就研究其函数性质。

函数序列

定义 1（函数序列）：设 f1(x),f2(x),⋯,fn(x),⋯f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdotsf1(x),f2(x),⋯,fn(x),⋯ 是具有公共定义域 EEE 的一列函数，则称其为定义在 EEE 上的一个函数序列，或函数列，简记作 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 或 fn(x),n=1,2,3,⋯f_n(x),n=1,2,3,\cdotsfn(x),n=1,2,3,⋯。

\quad此外，类似于数列极限，函数序列同样有极限的概念。

定义 2（极限函数）：设 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 是定义在集合 EEE 上的函数序列，若存在 x0∈Ex_0 \in Ex0∈E，使得数列
f1(x0),f2(x0),⋯,fn(x0),⋯f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots f1(x0),f2(x0),⋯,fn(x0),⋯
收敛，则称函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在点 x0x_0x0 处收敛，x0x_0x0 称为 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的一个收敛点。

\quad设 DDD 是函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的收敛点全体构成的集合，则称 DDD 为 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的收敛域。

\quad对于任意的 x∈D⊂Ex \in D \subset Ex∈D⊂E，若有 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的一个极限值与之对应，则由这个对应法则所确定的 DDD 上的函数 f(x)f(x)f(x) 称为函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的极限函数。即
f(x)=lim⁡n→∞fn(x),x∈D.f(x) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x),\quad x \in D. f(x)=n→∞limfn(x),x∈D.
或
fn(x)→f(x)(n→∞),x∈D.f_n(x) \rightarrow f(x) \quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)→f(x)(n→∞),x∈D.

\quad对 定义 2 作以下说明：

（1）一般情况下，函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 的收敛域 DDD 是一个区间；

（2）由于 f(x)f(x)f(x) 是通过逐点定义的方式得到的，因此称 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)。

（3）由 定义 2 可知：
函数列{fn(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0∈D,都有数列{fn(x0)}收敛于f(x0).\text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0). 函数列{fn(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0∈D,都有数列{fn(x0)}收敛于f(x0).
（4）"函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)" 可用 “ϵ−N\epsilon-Nϵ−N” 语言描述：
∀x0∈D,∀ϵ>0,∃N=N(ϵ,x0),∀n>N:∣fn(x0)−f(x0)∣<ϵ.\forall x_0 \in D,\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon. ∀x0∈D,∀ϵ>0,∃N=N(ϵ,x0),∀n>N:∣fn(x0)−f(x0)∣<ϵ.
此处的 NNN 不仅与 ϵ\epsilonϵ 有关，而且随 x0x_0x0 的不同而变化。

函数序列的一致收敛性

\quad有些函数序列不仅在收敛域上点态收敛于相应的极限函数，而且在收敛速度上具有某种整体一致性，我们称这种性质为一致收敛性。下面给出一致收敛性的概念。

定义 3（函数序列的一致收敛）：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，若对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，
∣fn(x)−f(x)∣<ϵ\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
对一切 x∈Dx \in Dx∈D 成立，则称函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)，记作：
fn(x)⇒Df(x)(n→∞),x∈D.f_n(x) \xRightarrow{D} f(x)\quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)Df(x)(n→∞),x∈D.

\quad对 定义 3 作以下说明：

（1）“函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)” 用 “ϵ−N\epsilon-Nϵ−N” 语言描述：
∀ϵ>0,∃N=N(ϵ),∀n>N,∀x∈D:∣fn(x)−f(x)∣<ϵ.\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N,\forall x \in D:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon. ∀ϵ>0,∃N=N(ϵ),∀n>N,∀x∈D:∣fn(x)−f(x)∣<ϵ.
（2）“函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上不一致收敛于 f(x)f(x)f(x)”，按照量词取反的对偶原则，有：
∃ϵ0>0,∀N,∃n>N,∃x0∈D:∣fn(x0)−f(x0)∣≥ϵ0.\exists \epsilon_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0 \in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge \epsilon_0. ∃ϵ0>0,∀N,∃n>N,∃x0∈D:∣fn(x0)−f(x0)∣≥ϵ0.
（3）“函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)” 的几何意义：
对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,当n>N时,曲线y=fn(x)都将落在以曲线y=f(x)−ϵ与y=f(x)+ϵ为边的带状区域.\text{对任意给定的}\epsilon>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线} y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-\epsilon\text{与}y=f(x)+\epsilon\text{为边的带状区域}. 对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,当n>N时,曲线y=fn(x)都将落在以曲线y=f(x)−ϵ与y=f(x)+ϵ为边的带状区域.

定义 4（函数序列的内闭一致收敛）：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，若对于任意的闭区间 [a,b]⊂D[a,b] \subset D[a,b]⊂D，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)，则称函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上内闭一致收敛于 f(x)f(x)f(x)。

\quad对 定义 4 作以下说明：

（1）在 DDD 上一致收敛的函数序列一定也在 DDD 上内闭一致收敛，但反之不成立。

函数序列一致收敛性的判别法

\quad设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，思考：什么情况下，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛？

\quad下面，给出函数序列一致收敛的几个判别方法（三个充要条件）。

定理 1：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，则 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x) 的充分必要条件为：
lim⁡n→∞sup⁡x∈D∣fn(x)−f(x)∣=0.\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\underset{x \in D}{\sup}|f_n(x)-f(x)|}=0. n→∞limx∈Dsup∣fn(x)−f(x)∣=0.

定理 2：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，则 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x) 的充分必要条件为：对任意的数列 {xn}\{x_n\}{xn}，xn∈Dx_n \in Dxn∈D，成立
lim⁡n→∞(fn(xn)−f(xn))=0.\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.

\quad由 定理 2 可得 推论 1。

推论 1：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，则 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上不一致收敛于 f(x)f(x)f(x) 的充分必要条件为：存在数列 {xn}\{x_n\}{xn}，xn∈Dx_n \in Dxn∈D，成立
lim⁡n→∞(fn(xn)−f(xn))≠0.\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))\ne0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.

注：推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。

定理 3（函数序列的Cauchy 收敛准则）： 设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}（x∈Ex \in Ex∈E）在集合 D⊂ED \subset ED⊂E 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，则 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 DDD 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x) 的充分必要条件为：对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n,m>Nn,m>Nn,m>N 时，
∣fn(x)−f(x)∣<ϵ\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
对一切 x∈Dx \in Dx∈D 成立。

一致收敛的函数序列的性质

\quad下面，来研究一致收敛的函数序列的性质。

定理 4（连续性定理）：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)，若 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 中的每一项都在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 也在 [a,b][a,b][a,b] 上连续。

\quad由 定理 4 可得
lim⁡x→x0lim⁡n→∞fn(x)=lim⁡x→x0f(x)=f(x0)=lim⁡n→∞fn(x0)=lim⁡n→∞lim⁡x→x0fn(x)\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f_n(x) x→x0limn→∞limfn(x)=x→x0limf(x)=f(x0)=n→∞limfn(x0)=n→∞limx→x0limfn(x)
也就是说，两个极限运算可以交换次序。

定理 5：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)，若 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 中的每一项都在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积，且
∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∫abfn(x)dx.\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. ∫abf(x)dx=n→∞lim∫abfn(x)dx.

\quad由 定理 4 可得
∫ablim⁡n→∞fn(x)dx=lim⁡n→∞∫abfn(x)dx.\int_{a}^{b}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. ∫abn→∞limfn(x)dx=n→∞lim∫abfn(x)dx.
也就是说，极限运算与积分运算可以交换次序。

定理 6：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，若

（1）fn(x)f_n(x)fn(x)（n=1,2,3,⋯n=1,2,3,\cdotsn=1,2,3,⋯）在 [a,b][a,b][a,b] 上有连续的导函数；

（2）导函数序列 {fn′(x)}\{f_n'(x)\}{fn′(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 σ(x)\sigma(x)σ(x)，

则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可导，且
ddxf(x)=σ(x).\frac{d}{dx}f(x)=\sigma(x). dxdf(x)=σ(x).
\quad由 定理 6 可得
ddxlim⁡n→∞fn(x)=lim⁡n→∞ddxfn(x).\frac{d}{dx}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{d}{dx}f_n(x). dxdn→∞limfn(x)=n→∞limdxdfn(x).
也就是说，极限运算与求导运算可以交换次序。

\quad函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续（即每一项都连续），且点态收敛于连续函数 f(x)f(x)f(x)，并不能说明：函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)。也就是说，定理 4 的逆命题并不成立！但在某些条件下，由 f(x)f(x)f(x) 的连续性可得 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上的一致连续性，即下面的 Dini 定理。

定理 7（Dini 定理）：设函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上点态收敛于 f(x)f(x)f(x)，若

（1）fn(x)f_n(x)fn(x)（n=1,2,3,⋯n=1,2,3,\cdotsn=1,2,3,⋯）在 [a,b][a,b][a,b] 上连续；

（2）f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续；

（3）{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 关于 nnn 单调，即对任意固定的 x∈[a,b]x \in [a,b]x∈[a,b]，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 是单调数列，

则函数序列 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 在 [a,b][a,b][a,b] 上一致收敛于 f(x)f(x)f(x)。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.

数学分析：函数序列及其一致收敛性相关推荐

复旦大学《数学分析》教学大纲，读后有感
该<分析>大纲读后,犹如时间倒转,回到19世纪的马克思撰写<数学手稿>时代,-- 但是,时光不能倒流.进入20世纪,数学公理化时代终于到来了.1930年,哥德尔紧致性定理:19 ...
关于级数∑(x n－x n-1)一致收敛性的一点儿理解
关于级数∑(x n-x n-1)一致收敛性的一点儿理解 a. ∑(x n-x n-1)这个级数的一致收敛性有点意思.它在(0,1)这个开区间上不一致收敛,但若任意给一个正数r<1,则在[0,r ...
大学数学学习参考书点评之数学分析部分（转）
大学数学学习参考书点评 (转载自:http://bbs.fudan.edu.cn/cgi-bin/bbs/bbsanc?path=/bmt/9/mat/M.984927021.A) 发信人 : dhj ...
数学分析原理第2卷第9版
[作者]T.M.菲赫金哥尔茨著:丁寿田译 [丛书名]俄罗斯数学教材选译 [形态项] 363 [出版项] 北京:高等教育出版社 , 2013.03 [ISBN号]978-7-04-035185-9 [ ...
（数学分析复习）含参量积分总结
文章目录写在前面含参量积分含参量正常积分定理1:积分的连续性定理2:变限积分的连续性定理3:积分可微性(换序) ★\bigstar★定理4:变限积分可微性定理5:可积性定理6:可积性- ...
matlab一致收敛函数,函数项级数一致收敛性及其应用.pdf
函数项级数一致收敛性及其应用.pdf 2016年12月山东师范大学学报(自然科学版) Dec．2016 of Jo哪al No册al V01．31 第31卷第4期 Sh粕dong UIlive鹅it ...
可微偏导数一定存在_数学分析复习——偏导数（1）
前言:微积分开始就是死刷题,背定义.然后我发现自己遗忘的速度简直怀疑人生.特别是在学物理以后,发现微积分根本就没有理解.一上来基础就没打好.所以希望能够慢慢地把数学分析,线性代数,偏微分,实变补起来 ...
虞旦盛老师的《数学分析续》课件
虞旦盛老师给我们上数学分析续的课.现在课上完了,他把讲课的幻灯片交给了我们.是用$\LaTeX$做的,很优雅.上面多是一些数学分析中的难题.我把它放在这里共享. 转载于:https://www.cnb ...
数学分析高等代数考研试题荟萃[更新至2017年10月1日]
数学分析高等代数考研试题荟萃[更新至2017年10月1日], 需要的话见: http://www.followmath.com/forum.php?mod=viewthread&tid=469 ...
FFT IP核调用与仿真之FFT数学分析
对于FFT这个IP核,我其实对它真的是又爱又恨,因为它真的耗费了我太多时间,但是随着研究的深入,遇到的问题一点点给消化解决,终于不用带着问题睡觉了,哈哈,有时候真的挺佩服自己的,遇到不懂的,不了解的, ...

数学分析：函数序列及其一致收敛性