LSTM神经网络详解

LSTM

长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，是一种改进之后的循环神经网络，可以解决RNN无法处理长距离的依赖的问题，目前比较流行。

长短时记忆网络的思路：

原始 RNN 的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。
再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，称为单元状态(cell state)。

按照上面时间维度展开：

在 t 时刻，LSTM 的输入有三个：当前时刻网络的输入值 X_t、上一时刻 LSTM 的输出值 h_t-1、以及上一时刻的单元状态 C_t-1；
LSTM 的输出有两个：当前时刻 LSTM 输出值 h_t、和当前时刻的单元状态 C_t.

关键问题是：怎样控制长期状态 c ？

方法是使用三个开关

第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；
第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；
第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。

如何在算法中实现这三个开关？

方法：用门（gate）

定义：gate 实际上就是一层全连接层，输入是一个向量，输出是一个 0到1 之间的实数向量。
公式为：

也就是：

gate 如何进行控制？

方法：用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量
原理：门的输出是 0到1 之间的实数向量，当门输出为 0 时，任何向量与之相乘都会得到 0 向量，这就相当于什么都不能通过；
输出为 1 时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于什么都可以通过。

LSTM 的前向计算

一共有 6 个公式

遗忘门（forget gate）
它决定了上一时刻的单元状态 c_t-1 有多少保留到当前时刻 c_t

输入门（input gate）
它决定了当前时刻网络的输入 x_t 有多少保存到单元状态 c_t

输出门（output gate）
控制单元状态 c_t 有多少输出到 LSTM 的当前输出值 h_t

遗忘门的计算为：

遗忘门的计算公式中：
W_f 是遗忘门的权重矩阵，[h_t-1, x_t] 表示把两个向量连接成一个更长的向量，b_f是遗忘门的偏置项，σ 是 sigmoid 函数。

输入门的计算公式：

根据上一次的输出和本次输入来计算当前输入的单元状态：

当前时刻的单元状态 c_t 的计算：由上一次的单元状态 c_t-1 按元素乘以遗忘门 f_t，再用当前输入的单元状态 c_t 按元素乘以输入门 i_t，再将两个积加和：这样，就可以把当前的记忆 c_t 和长期的记忆 c_t-1 组合在一起，形成了新的单元状态 c_t。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。

输出门的计算公式：

LSTM 的反向传播训练算法

主要有三步：

1. 前向计算每个神经元的输出值，一共有 5 个变量，计算方法就是前一部分：

2. 反向计算每个神经元的误差项值。与 RNN 一样，LSTM 误差项的反向传播也是包括两个方向：
一个是沿时间的反向传播，即从当前 t 时刻开始，计算每个时刻的误差项；
一个是将误差项向上一层传播。

3. 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。

gate 的激活函数定义为 sigmoid 函数，输出的激活函数为 tanh 函数，导数分别为：

具体的推导公式为：

具体的推导公式为：

目标是要学习 8 组参数，如下图所示：

又权重矩阵 W 都是由两个矩阵拼接而成，这两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵也要被写为分开的两个矩阵。

接着就来求两个方向的误差，和一个梯度计算。

1.误差项沿时间的反向传递：

定义 t 时刻的误差项：

目的是要计算出 t-1 时刻的误差项：

利用 h_t c_t 的定义，和全导数公式，可以得到将误差项向前传递到任意k时刻的公式：

2. 将误差项传递到上一层的公式：

3. 权重梯度的计算：

以上就是 LSTM 的训练算法的全部公式。