麻省理工线性代数第三讲
课程第三讲的核心内容主要包括两部分:
- 矩阵乘法
- 逆矩阵
矩阵乘法##
首先矩阵A可以与B相乘的条件是A的列数等于B的行数,即当A为mn矩阵,B为sp矩阵时,只有n=p才能计算AB,下面用A为mn矩阵,B为np矩阵讲解矩阵相乘的运算。
- 元素法
如上图A,B,C均用元素来表示,则Cij的计算公式为:
如
其中C21=a21b11+a22b21+a23*b31=2 - 列向量
这种方法类似第二讲中所讲,根据左行右列,将矩阵B按列拆分成P个列向量,依次乘在A的右边形成第一列、第二列……第p列。
同样对于上述矩阵,将B拆分成3个列向量,这里只考虑第一个列向量
后面两个列向量同理。 - 行向量
这种方法同样类似第二讲中所讲,根据左行右列,将矩阵A按行拆分成m个行向量,乘在B的左边,分别形成结果的第一行,第二行……第m行。以A的一个行向量为例。
- 矩阵分块
矩阵分块的方法就是将AB矩阵分别分块成若干矩阵,再进行相乘,当然分块后相乘的矩阵必须满足相乘的条件。
如图:
其中Ai*Bj的运算可用上面三种方法,当然对矩阵的分块并非只有一种,视情况而定。
逆矩阵
可逆矩阵的条件:第二讲已经介绍**存在一组初等变换矩阵使得该组矩阵乘方阵A可与得到单位矩阵时,矩阵A可逆,称A为可逆矩阵,而不满足条件的矩阵称为奇异矩阵。**注:可逆矩阵一定是方阵。
这讲讲师补充到不存在不为零的X使得AX=0的矩阵A可逆。
可逆矩阵A的逆为而且A=A=E
此时证明为何可逆矩阵必定不存在一个非零向量X使得AX=0,假设存在一个非零向量X,满足AX=0,在等式左端乘上A的逆矩阵,则根据上述矩阵与逆矩阵的特征,,而X不是零向量,因此矛盾,假设不成立。
如何求逆矩阵??本讲主要介绍两种方法。
- 设未知数解方程组
第一种方法是最简单粗暴的方法,设未知数解方程组。
假设:
此时只需要为将方阵的每个元素设成未知数,解方程组即可。
2. 高斯-若尔当方法
同样求解上述矩阵A的逆,相当于求解两个方程组,如下图:
这种方法可以同时求解两个方程:
方法就是将A和E放在一起考虑,组合成一个增广矩阵,然后通过矩阵变换将矩阵A变成E,而直线后面的矩阵就是要求得逆矩阵。
经检验所得矩阵确实为A的逆矩阵。
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