为什么正定矩阵等于转置

我们需要了解的第一个概念是共轭转置定义为[1]:

其中表示矩阵i行j列上的元素，表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

或, 常用于线性代数

, 普遍用于量子力学

例：

若

则

我们可以进一步分析，对于A的对角线元素，如果存在复数a+bi，取转置后不变，然后再取共轭就变成了a-bi。与原矩阵不相等。所以Hermitian matrix的对角线元素一定是实数。

如果矩阵A的转置的共轭等于自身，而一个矩阵的转置的转置也等于自身，所以此时矩阵的共轭等于矩阵的转置，即，所以Hermitian matrix一定是共轭对称的。

在Hermitian matrix 的基础上加上整数限制就变成了正定矩阵(正数-确定-矩阵)

(1)一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 zTMz > 0。其中zT 表示z的转置。

(2)对于复数的情况，定义则为：一个n × n的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

对n × n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

1. 矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。

4. M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的(西尔维斯特准则)。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：

M左上角1× 1的矩阵

M左上角2× 2矩阵

...

M自身。

5. 存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得：

M = LL * .

其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的改为，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

注：本文的绝大部分内容从wikipedia摘录

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