0/0型极限等于多少_求极限时是否可以进行代入？

学习阶段：大学数学。

前置知识：极限的运算。

求极限时，代入有时会得到正确的结果，有时却会出错，为什么呢？而且，有的解题过程中只选择性地代入其中的一部分，这究竟是怎么回事呢？

我们首先要了解未定式这个概念。我的这篇回答里面大致讲解了一下未定式：

tetradecane：0/∞、∞/0 型的极限一定不存在吗？www.zhihu.com

未定式有多重要？那些不容易做的、容易做错的极限，全都是未定式！你可以自己验证看看。

未定式核心的难点就在于：无穷小（无穷大）是不一样的，有的快有的慢，它们的快慢会决定最终极限的值。

1. 整体代入

什么叫整体代入？把极限算式

中的变量x直接全部写为

，得到的值

叫整体代入。

对于无穷极限

，做倒代换

即有

，可以简单地化归为一点极限的形式，故不再详述。

1.1 连续点必可整体代入

我们知道，极限

的情况与

的值原则上没有任何关系，只由

的去心邻域的情况决定。对于一个确定的函数

，我只改变

的值，丝毫不会影响

的情况。那么为什么我们经常做代入也能得到正确的结果呢？

函数连续的定义：

在

点处连续，当且仅当

也就是说，函数若在某点连续，则求该点的极限时可以整体代入。

定理：初等函数在其定义区间内连续。

上述定理就是很多极限式可以整体代入的原理。例如

是正确的。虽然式子看上去很复杂，但是

恰好在初等函数

的定义区间内，故连续，故整体代入得

，这就很容易计算了。

易知，如果函数在该点左连续/右连续，求该点的左极限/右极限时可以整体代入。

1.2 不连续点与整体代入

对于初等函数，不连续点要么是孤立点（有的地方认为孤立点是特殊的连续点），要么没有定义。孤立点无法讨论在这点的极限，无定义点有以下两种情况：

①函数在这一点是个未定式，不能整体代入。但是函数在这一点的极限可能是存在的，求这个极限的值就是很多极限题的形式。例如重要极限

在x=0处无定义，用整体代入得到的是未定式

，无法得到它的值为1.

②函数在这一点不是未定式，可以形式上进行整体代入，例如

显然，上式的分子趋向于2，分母趋向于0，形式上写出

，整体必然趋向

对于非初等函数，不连续点的情况比较复杂，一般不进行代入。求该点的极限时，可以从极限的定义出发，研究左极限和右极限是否存在、是否相等、值为多少。

2. 部分代入

求函数的极限时，如果不能整体代入，我们有机会部分代入。部分代入的含义是：函数中的某一部分存在极限，将这一部分的极限值替代这一部分。

对于极限式

（这里？表示加减乘除任一种运算），其中A有可能是未定式，B也有可能是未定式，但只需要保证

A和B之间不构成未定式，就可以把极限拆开计算，即先算

的值，再算

的值，最后计算

的值。

以下2.1和2.2是两种具体情况：

2.1 纯加减形式

对于纯加减形式

，如果

（

是常数，可以为0），则

2.2 纯乘除形式

对于纯乘积形式

，如果

（

是非零常数），则

例如

中，因式

和

可代入，得到

，这是一个

的未定式，不可部分代入。如果强行部分代入，会出现

的荒谬结果。

2.3 小心其他形式

要进行部分代入，一定要找到这步代入的依据，保证这步部分代入不会对未定式造成干扰，不会影响最终极限的值。最忌讳的就是盲目、随意地进行部分代入，否则很容易求错极限。

以下举几种常见例子：（并不是说只有这几种形式不能部分代入）

小心加减后再乘除的形式

对于加减后再乘除的形式如

，如果它构成未定式

或

，不能直接部分代入，要使用其他方法（变形、等价无穷小、洛必达、泰勒等）。例如

这是个

未定式。这里的分子

不可部分代入。

错误做法（以下所有的红色等于号是错的）：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

中

这一项的重要性。它和分母是同阶的，会影响极限的值。忽视掉它，自然会犯错。

小心乘除后再加减的形式

对于乘除后再加减的形式如

，如果它构成未定式

，不能直接部分代入，要进行变形或泰勒展开等。例如

这是个

未定式。这里的

并不是整体的因式，不可部分代入。

错误做法：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

中x这一项会影响极限的值。

小心复合函数内部的加减乘除

复合函数内部的加减乘除形式，不是整体的加减乘除形式，不能直接部分代入。例如

这是个

未定式。这里的

和

虽然都是趋向于非零常数1的因式，但是它们在

函数的内部。

错误做法：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

中

这一项会影响极限的值。

2.4 一些可能有用的思想

乘除未定式

中，无穷小只需要保留最低阶的无穷小（它最慢，更快趋于0的那些不会影响极限值），无穷大只需要保留最高阶的无穷大（它最快，更慢趋于无穷大的那些不会影响极限值）。

但是在加减式中，不可以这样操作，因为最高阶/最低阶可能抵消，然后起作用的是剩下的那些项。甚至如

这种形式，红色的部分也不能轻举妄动，因为它不是单独的未定式，和外面的加减是一个整体，泰勒展开后同样可能出现一些隐蔽的起作用的项。

由以上讨论知，乘积形式有比较好的性质，那么如何化为乘积形式？

未定式

自然就是乘积形式。

未定式

可提出左右两项中的最高阶项，可能转化为

的未定式，也可能转化为确定式。

指数型未定式

均可取对数

（取对数是一种非常好用的技巧），指数上有

化为乘积形式对于运用等价无穷小也有很大的帮助。