均值求解

本文介绍平均值、几何均值、调和均值、中位数、截尾法以及众值估计的求解方法，并用matlab对实例进行求解。

各值的特点

平均值

无系统误差和粗大误差时，直接求平均的结果最接近真值，用它来表示测量结果是最为可靠、简单的。
估计误差小，能反映出所有的数据特征。
易受到粗大误差的影响，属于非稳健估计。
计算简单

几何均值

表示平均增长率或变化率。
不具有最佳性、属于非稳健估计。
在实际运用中使用的不多

调和均值

一般用来分析数据含有某因素倒数的影响，如：平均密度、总平均速度、平均寿命等。
不具有最佳性、属于非稳健估计。
在实际运用中使用的不多。

中位数

对偏态数据的偏态不敏感。
估计误差比xˉ\bar{x}xˉ大。
不能反映出数据的全部信息，但是也因此有较好的稳健性。
计算复杂(需要排序)。

截尾法均值

特性介于均值与中位数之间，拥有两者共同的优缺点。
可以弥补均值的非稳健性和中位值的效率低的特点。
属于稳健估计法。
经验表明一般情况截去数据中最小的10%和最大的%10.

众值

仅可以反映出现次数最多的数据信息，丢失的信息较多。
多峰分布下，难以确定众值或众值偏差较大。
估计误差和统计特性难以分析。
实际应用较少。

编程求解

问题

对某真值为5的数据进行8次测量，测量值分别为：5.001, 5.002, 4.998, 4.993, 5.001, 5.008, 5.500, 4.997.试分别采用最小二乘(平均值)、几何均值、调和均值、中位数、截尾法以及众值估计这组测量数据的测量值，并比较优缺点。

matlab求解

题目要求用多种指标：平均值、几何均值、调和均值、中位数、截尾法以及众值估计测量数据的真值，并用偏差、计算量等指标分析各个估计方法的优缺点。
将题目所给的数据输入matlab，编程求解各个待求量，程序如下：

clear;clc;
%edit by callmiaoup
%data 2021-4-20
%Ver 1.0
data=[5.001,5.002,4.998,4.993,5.001,5.008,5.500,4.997]; %输入数据
ave=(sum(data)/length(data));  %平均值
geoave=(data(1)*data(2)*data(3)*data(4)*data(5)*data(6)*data(7)*data(8))^(1/length(data));  %几何均值
reconcileave=1/(1/data(1)+1/data(2)+1/data(3)+1/data(4)+1/data(5)+1/data(6)+1/data(7)+1/data(8))*length(data);  %调和均值
sort=sort(data);  %排序
mid=(sort(length(data)/2)+sort(length(data)/2+1))/2;  %中位数
truncation=(sort(2)+sort(3)+sort(4)+sort(5)+sort(6)+sort(7))/(length(data)-2);  %截尾法
mode=mode(data);  %众值

运行结果如图：

使用tic-toc命令可以查看各个数据求解的耗时，将其加上。运行程序。

结果分析

将实测结果用表格的形式列出来：

均值类型	结果	绝对误差	相对误差	误差排序	耗时（us）	耗时排序
最小二乘均值	5.0625	0.0625	1.25%	6	97	3
几何均值	5.0599	0.0599	1.20%	5	175	5
调和均值	5.0575	0.0575	1.15%	4	129	4
中位数	5.001	0.001	0.02%	1	78	1
截尾法均值	5.0012	0.0012	0.02%	3	86	2
众值	5.001	0.001	0.02%	1	211	6

由表格可以分析出：从计算精度来看，对比求平均的计算结果和真实值，误差有小到高的算法分别为：众值、中位数、截尾均值、调和均值、几何均值、最小二乘（平均值）。其中中位数和众值误差在所有方法的对比中最低，为0.02%.
从计算耗时来看，中位数耗时最短，其次是截尾法均值，但是这两种方法在测量耗时时均为将数据升序排列的时间计算其中，所以一段样本在未经处理时，中位数和截尾法均值的计算时长是不短的。其次是最常用的平均值，耗时在100us以内。耗时最长的是众值，在程序求解众值时，因为需要不短搜索与储存出现次数最多的数值，所以对于计算能力和存储空间的要求都较高，这也是众值在实际运用中不常采用的原因之一。

总结

随机误差影响下测量数据表现为某种随机变量，其分布中心位置理论上可用期望值(数学期望/均值)表征。求均值的方法很多，使用的领域和不尽相同，没有绝对好于绝对不好的方法，我们需要在实际使用时找到最适合当前数据的均值。

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