1. 引言

Clark变换和Park变换在三相系统中应用广泛，并且在单相系统中也有应用。但是以往的资料都是仅分析单相的坐标变换或者三相的坐标变换，并没有总结三相和单相的联系。本文将以坐标变换矩阵为载体，分析坐标变换在单相和三相系统中的应用。

2. Clark变换

2.1 三相系统

假设ua=Umcosωtu_a=U_mcos\omega tua=Umcosωt, ub=Umcos(ωt−120∘)u_b=U_mcos(\omega t-120^\circ)ub=Umcos(ωt−120∘), uc=Umcos(ωt+120∘)u_c=U_mcos(\omega t+120^\circ)uc=Umcos(ωt+120∘)。经过Clark变换后的结果是uα=Umcosωtu_\alpha=U_mcos\omega tuα=Umcosωt, uβ=Umsinωtu_\beta=U_msin\omega tuβ=Umsinωt。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
[uaubuc]=[10−12(3)2−12−(3)2][uαuβ]\begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt(3)}{2} \\ -\frac{1}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎢⎡1−21−2102(3)−2(3)⎦⎥⎤[uαuβ]
将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Clark变换表达式：
[uαuβ]=23[1−12−120(3)2−(3)2][uaubuc]\begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt(3)}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} [uαuβ]=32[10−212(3)−21−2(3)]⎣⎡uaubuc⎦⎤

2.2 单相系统

借鉴三相系统的思想，假设ua=Umcosωtu_a=U_mcos\omega tua=Umcosωt，经过Clark变换后的结果是uα=Umcosωtu_\alpha=U_mcos\omega tuα=Umcosωt, uβ=Umsinωtu_\beta=U_msin\omega tuβ=Umsinωt。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于 uau_aua 90度的物理量 ua1=Umsinωtu_{a1}=U_msin\omega tua1=Umsinωt。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
[uaua1]=[1001][uαuβ]\begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} [uaua1]=[1001][uαuβ]
将该表达式反着写，便得到了单相系统的Clark变换表达式：
[uαuβ]=[1001][uaua1]\begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} [uαuβ]=[1001][uaua1]
如果设定ua1=−Umsinωtu_{a1}=-U_msin\omega tua1=−Umsinωt，相应地修改矩阵即可。

3. Park变换

3.1 三相系统

假设ua=Udsinωt+Uqcosωtu_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega tua=Udsinωt+Uqcosωt, ub=Udsin(ωt−120∘)+Uqcos(ωt−120∘)u_b=U_dsin(\omega t-120^\circ) + U_qcos(\omega t-120^\circ)ub=Udsin(ωt−120∘)+Uqcos(ωt−120∘), uc=Udsin(ωt+120∘)+Uqcos(ωt+120∘)u_c=U_dsin(\omega t+120^\circ) + U_qcos(\omega t+120^\circ)uc=Udsin(ωt+120∘)+Uqcos(ωt+120∘)。经过Park变换后的结果是uα=Udu_\alpha=U_duα=Ud, uβ=Uqu_\beta=U_quβ=Uq。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
[uaubuc]=[sinwtcoswtsin(wt−120∘)cos(wt−120∘)sin(wt+120∘)cos(wt+120∘)][uduq]\begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ sin(wt-120^\circ) & cos(wt-120^\circ) \\ sin(wt+120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎡sinwtsin(wt−120∘)sin(wt+120∘)coswtcos(wt−120∘)cos(wt+120∘)⎦⎤[uduq]
将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Plark变换表达式：
[uduq]=23[sinwtsin(wt−120∘)sin(wt+120∘)coswtcos(wt−120∘)cos(wt+120∘)][uaubuc]\begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-120^\circ) & sin(wt+120^\circ) \\ coswt & cos(wt-120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} [uduq]=32[sinwtcoswtsin(wt−120∘)cos(wt−120∘)sin(wt+120∘)cos(wt+120∘)]⎣⎡uaubuc⎦⎤

3.2 单相系统

借鉴三相系统的思想，假设ua=Udsinωt+Uqcosωtu_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega tua=Udsinωt+Uqcosωt，经过Park变换后的结果是uα=Udu_\alpha=U_duα=Ud, uβ=Uqu_\beta=U_quβ=Uq。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于 uau_aua 90度的物理量 ua1=Udsin(ωt−90∘)+Uqcos(ωt−90∘)u_{a1}=U_dsin(\omega t-90^\circ)+U_qcos(\omega t-90^\circ)ua1=Udsin(ωt−90∘)+Uqcos(ωt−90∘)。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
[uaua1]=[sinwtcoswt−coswtsinwt][uduq]\begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ -coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} [uaua1]=[sinwt−coswtcoswtsinwt][uduq]
将该表达式反着写，便得到了单相系统的Park变换表达式：
[uduq]=[sinwt−coswtcoswtsinwt][uaua1]\begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & -coswt \\ coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} [uduq]=[sinwtcoswt−coswtsinwt][uaua1]
如果设定ua1u_{a1}ua1超前uau_aua 90度，相应地修改矩阵即可。

4. 结论

通过上面的分析，我们可以发现，只要确定了变换前后的表达式，就能够确定变换矩阵。对于单相而言，需要构造一个虚拟的物理量，这个物理量的表达式不同，导致最后的变换矩阵不一样。

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