BLDC矢量控制坐标变换

本文的目的在于梳理三相电机旋转矢量以及Clarke变换和Park变换的知识并给出推导。

文章目录

BLDC矢量控制坐标变换
前言
一、从旋转矢量说起
二、Clarke变换
三、一般实际使用的Clarke变换
四、Clarke变换的性质
五、Park变换
六、Park变换的性质
七、功率的变换
总结

前言

最近想入手无刷电机的矢量控制，发现资料上比较零散，对一些变换公式说的不够清楚，让人倍感苦恼，为了夯实基础，扫除学习上的拦路虎，这里决心静下心来认真推导坐标变换公式。

一、从旋转矢量说起

三个线圈在空间(电角度空间)成120°放置，并且电流的相位也相差120°。
电流产生同相位的磁动势，ABCABCABC三相的磁动势分别Fcos(ωt),Fcos(ωt−2π3),Fcos(ωt+2π3)Fcos({\omega}t),Fcos({\omega}t-\frac{2\pi}{3}),Fcos({\omega}t+\frac{2\pi}{3})Fcos(ωt),Fcos(ωt−32π),Fcos(ωt+32π)。
为了书写方便，我们令相位φ=ωt{\varphi=\omega}tφ=ωt。
三个磁动势为：
{Fa=FcosφFb=Fcos(φ−2π3)Fc=Fcos(φ+2π3)……1\left\{\begin{aligned} &F_a=Fcos\varphi\\ &F_b=Fcos(\varphi-\frac{2\pi}{3})\\ &F_c=Fcos(\varphi+\frac{2\pi}{3})\end{aligned}\right.……1⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Fa=FcosφFb=Fcos(φ−32π)Fc=Fcos(φ+32π)……1

为了表示这三个量的空间关系，也为了方便计算，我们在复平面上处理空间位置关系：
设α\alphaα轴对应复平面的实轴，β\betaβ轴对应复平面的虚轴，则这三相磁动势可表示如下：
A相的矢量：Fcosφ=F2(ejφ+e−jφ)Fcos\varphi=\frac{F}{2}(e^{j\varphi}+e^{-j\varphi})Fcosφ=2F(ejφ+e−jφ)
B相的矢量：Fcos(φ−2π3)ej2π3=F2(ej(φ−2π3)+e−j(φ−2π3))ej2π3Fcos(\varphi-\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}=\frac{F}{2}(e^{j(\varphi-\frac{2\pi}{3})}+e^{-j(\varphi-\frac{2\pi}{3})})e^{j\frac{2\pi}{3}}Fcos(φ−32π)ej32π=2F(ej(φ−32π)+e−j(φ−32π))ej32π
C相的矢量：Fcos(φ+2π3)e−j2π3=F2(ej(φ+2π3)+e−j(φ+2π3))e−j2π3Fcos(\varphi+\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}=\frac{F}{2}(e^{j(\varphi+\frac{2\pi}{3})}+e^{-j(\varphi+\frac{2\pi}{3})})e^{-j\frac{2\pi}{3}}Fcos(φ+32π)e−j32π=2F(ej(φ+32π)+e−j(φ+32π))e−j32π
三个矢量的总和为：
F2[ejφ+e−jφ+(ej(φ−2π3)+e−j(φ−2π3))ej2π3+(ej(φ+2π3)+e−j(φ+2π3))e−j2π3]\frac{F}{2}[e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}+(e^{j(\varphi-\frac{2\pi}{3})}+e^{-j(\varphi-\frac{2\pi}{3})})e^{j\frac{2\pi}{3}}+(e^{j(\varphi+\frac{2\pi}{3})}+e^{-j(\varphi+\frac{2\pi}{3})})e^{-j\frac{2\pi}{3}}]2F[ejφ+e−jφ+(ej(φ−32π)+e−j(φ−32π))ej32π+(ej(φ+32π)+e−j(φ+32π))e−j32π]
=F2(ejφ+e−jφ+ejφ+e−j(φ+2π3)+ejφ+e−j(φ−2π3))=\frac{F}{2}(e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}+e^{j\varphi}+e^{-j(\varphi+\frac{2\pi}{3})}+e^{j\varphi}+e^{-j(\varphi-\frac{2\pi}{3})})=2F(ejφ+e−jφ+ejφ+e−j(φ+32π)+ejφ+e−j(φ−32π))
可以看到偶数项的旋转恰好抵消了，结果为32Fejφ=32Fejωt\frac{3}{2}Fe^{j\varphi}=\frac{3}{2}Fe^{j{\omega}t}23Fejφ=23Fejωt，于是我们得到大小为32F\frac{3}{2}F23F的以角速度ω\omegaω逆时针旋转的矢量32Fejωt\frac{3}{2}Fe^{j{\omega}t}23Fejωt。

抛开具体的旋转角速度，只看相位角φ\varphiφ，对于像1式那种(三相幅值有120°相差且空间电角度相差120°的矢量)，他们三个的矢量和就有一个重要的公式：
Fcosφ+Fcos(φ−2π3)ej2π3+Fcos(φ+2π3)e−j2π3=32Fejφ……2Fcos\varphi+Fcos(\varphi-\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}+Fcos(\varphi+\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{2}Fe^{j\varphi}……2Fcosφ+Fcos(φ−32π)ej32π+Fcos(φ+32π)e−j32π=23Fejφ……2

这里特别提一下，永磁铁转子的磁场分解与合成容易给人造成误解，有人可能会认为“认为永磁体转子的磁场先分解到ABCABCABC三个空间方向然后再按上述规则合成矢量，合成后应该是一个大小和永磁体转子原来磁场一样的以ω\omegaω是磁场吧？”，但不幸的是并不是这样的：
假设永磁体转子的磁场强度为ψfψ_fψf且它与AAA相的夹角为θ\thetaθ，则穿过AAA相线圈的磁场为ψfcosθψ_fcos\thetaψfcosθ，同理通过BBB相线圈的磁场为ψfcos(θ−2π3)ψ_fcos(\theta-\frac{2\pi}{3})ψfcos(θ−32π)，而通过CCC相线圈的磁场为ψfcos(θ+2π3)ψ_fcos(\theta+\frac{2\pi}{3})ψfcos(θ+32π)。
因此从变换公式2式可以看出:
ψfcosθ+ψfcos(θ−2π3)ej2π3+ψfcos(θ+2π3)e−j2π3=32ψfejθψ_fcos\theta+ψ_fcos(\theta-\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}+ψ_fcos(\theta+\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{2}ψ_fe^{j{\theta}}ψfcosθ+ψfcos(θ−32π)ej32π+ψfcos(θ+32π)e−j32π=23ψfejθ

因此需要注意上述矢量合成实际上是一种数学变换，永磁铁转子的磁场变换并不是变换成一个大小为ψfψ_fψf的旋转磁场，而是变换成一个大小为32ψf\frac{3}{2}ψ_f23ψf的旋转磁场。

二、Clarke变换

我们仍然用下图作说明：

我们把第一节关于旋转矢量的特殊问题，过渡到具有一般价值的3相2相变换上。
先把公式1带入公式2(再次强调三相量一定是形如公式1的量)：
Fa+Fbej2π3+Fce−j2π3=32Fejφ……2F_a+F_be^{j\frac{2\pi}{3}}+F_ce^{-j\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{2}Fe^{j\varphi}……2Fa+Fbej32π+Fce−j32π=23Fejφ……2
表达成矩阵形式：
32F[cosφsinφ]=[FαFβ]=[1−12−12032−32][FaFbFc]\frac{3}{2}F\begin{bmatrix}cos\varphi\\sin\varphi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt3}{2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix} 23F[cosφsinφ]=[FαFβ]=[10−2123−21−23]⎣⎡FaFbFc⎦⎤
我们不具体指定某一具体量，而是从数学上抽象的看待三相矢量Fa,Fb,FcF_a,F_b,F_cFa,Fb,Fc，经过上面的变换，可以合成一个大小为原来32\frac{3}{2}23的电角度和FaF_aFa相同的矢量，这个矢量在αβ\alpha\betaαβ坐标下的分量记为Fα,FβF_\alpha,F_\betaFα,Fβ。
通过变换[1−12−12032−32]\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt3}{2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix}[10−2123−21−23]把再ABCABCABC坐标下的三相矢量[FaFbFc]\begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix}⎣⎡FaFbFc⎦⎤变换成了αβ\alpha\betaαβ两相坐标下的矢量[FαFβ]\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix}[FαFβ]。
这个矩阵就是我们需要的Clarke变换了。
注意：如果FaF_aFa或FbF_bFb或FcF_cFc的大小为F，则FαF_\alphaFα或FβF_\betaFβ的大小就是32F\frac{3}{2}F23F。

那么如何通过αβ\alpha\betaαβ坐标下的矢量还原三相ABCABCABC下的各分量呢，由于：
[FαFβ]=32F[cosφsinφ]\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} =\frac{3}{2}F\begin{bmatrix}cos\varphi\\sin\varphi\end{bmatrix} [FαFβ]=23F[cosφsinφ]
即：Fα=32Fcosφ,Fβ=32FsinφF_\alpha=\frac{3}{2}Fcos\varphi,F_\beta=\frac{3}{2}Fsin\varphiFα=23Fcosφ,Fβ=23Fsinφ
而在ABCABCABC中又有：Fa=Fcosφ,Fb=Fcos(φ−2π3),Fc=Fcos(φ+2π3)F_a=Fcos\varphi,F_b=Fcos(\varphi-\frac{2\pi}{3}),F_c=Fcos(\varphi+\frac{2\pi}{3})Fa=Fcosφ,Fb=Fcos(φ−32π),Fc=Fcos(φ+32π)。
利用简单的三角公式，我们能Fα,FβF_\alpha,F_\betaFα,Fβ表示Fa,Fb,FcF_a,F_b,F_cFa,Fb,Fc，写成矩阵形式就有：
[FaFbFc]=23[10−1232−12−32][FαFβ]=[230−1333−13−33][FαFβ]\begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix} =\frac{2}{3}\begin{bmatrix}1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{\sqrt3}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} ⎣⎡FaFbFc⎦⎤=32⎣⎢⎡1−21−21023−23⎦⎥⎤[FαFβ]=⎣⎢⎡32−31−31033−33⎦⎥⎤[FαFβ]
这样我们就得到了Clarke反变换。

三、一般实际使用的Clarke变换

上一节中得到了特殊的Clarke变换，正变换后分量的振幅是原来分量的32\frac{3}{2}23，但实际应用中为了适应各种需求，常常在变换中增加系数KKK(例如令K=23K=\frac{2}{3}K=32以保证数学变换后振幅相同)，这构成实际的Clarke变换：
Clarke变换：
[FαFβ]=K[1−12−12032−32][FaFbFc]\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} =K\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt3}{2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix} [FαFβ]=K[10−2123−21−23]⎣⎡FaFbFc⎦⎤
Clarke逆变换：
[FaFbFc]=1K[230−1333−13−33][FαFβ]\begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix} =\frac{1}{K}\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{\sqrt3}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} ⎣⎡FaFbFc⎦⎤=K1⎣⎢⎡32−31−31033−33⎦⎥⎤[FαFβ]

四、Clarke变换的性质

下面规定如下记号，从变换的观点来看Clarke变换的性质：
C=K[1−12−12032−32]，C−1=1K[230−1333−13−33]\bm{C}=K\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt3}{2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix}， \bm{C^{-1}}=\frac{1}{K}\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{\sqrt3}{3}\end{bmatrix} C=K[10−2123−21−23]，C−1=K1⎣⎢⎡32−31−31033−33⎦⎥⎤
注意： 时刻牢记，上述变换是在三相矢量(看公式1)[FaFbFc]\begin{bmatrix}F_a\\F_b\\F_c\end{bmatrix}⎣⎡FaFbFc⎦⎤和[FαFβ]\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix}[FαFβ]的集合上进行的，它两都是φ\varphiφ的函数，所以这两向量的实际自由度是一维的，所以存在变换，任意三维矢量和二维是矢量是不存在变换的，所以下面理解变换时不要直接去乘矩阵验证，这里的变换不具有全线性空间的可逆性，下面表述性质的时候不会写出被变换的向量了。
1.变换可逆： CC−1=E，CC−1=E\bm{C}\bm{C^{-1}}=\bm{E}，\bm{C}\bm{C^{-1}}=\bm{E}CC−1=E，CC−1=E
其中E\bm{E}E是变换的单位元，这两个E\bm{E}E写法一样，但实际不同，它们作用的矢量空间也不一样，见注意，还有再强调：不要用直接矩阵相乘的观点来看待问题。
2.转置性质：
这个性质从矩阵上很容易看出来
CT=3K22C−1，C−1T=23K2C\bm{C^T}=\frac{3K^2}{2}\bm{C^{-1}}，\bm{{C^{-1}}^T}=\frac{2}{3K^2}\bm{C}CT=23K2C−1，C−1T=3K22C

五、Park变换

如下图所示：

Park变换实际上就是代表了坐标的旋转，名为d,qd,qd,q的坐标系，相对于α,β\alpha,\betaα,β坐标系逆时针旋转了θ\thetaθ角度，则dq坐标系中的矢量变换关系为：
Park变换：
[FdFq]=[cosθsinθ−sinθcosθ][FαFβ]\begin{bmatrix}F_d\\F_q\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta\end{bmatrix} [FdFq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][FαFβ]
Park逆变换
[FαFβ]=[cosθ−sinθsinθcosθ][FdFq]\begin{bmatrix}F_\alpha\\F_\beta \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_d\\F_q\end{bmatrix} [FαFβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][FdFq]

六、Park变换的性质

下面规定如下记号，容易看出逆Park变换实际上就是把Park变换角度取负，从变换的观点来看Park变换的性质：
P(θ)=[cosθsinθ−sinθcosθ]，P(−θ)=[cosθ−sinθsinθcosθ]\bm{P(θ)}=\begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}， \bm{P(-θ)}=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} P(θ)=[cosθ−sinθsinθcosθ]，P(−θ)=[cosθsinθ−sinθcosθ]
可加性：P(θ1)P(θ2)=P(θ1+θ2)\bm{P(θ_1)}\bm{P(θ_2)}=\bm{P(θ_1+\theta_2)}P(θ1)P(θ2)=P(θ1+θ2)
交换律：P(θ1)P(θ2)=P(θ2)P(θ1)\bm{P(θ_1)}\bm{P(θ_2)}=\bm{P(θ_2)}\bm{P(θ_1)}P(θ1)P(θ2)=P(θ2)P(θ1)
微分性质：ddtP(θ)=dθdtP(θ+π2)，ddtP(−θ)=−dθdtP(−θ+π2)\frac{d}{dt}\bm{P(θ)}=\frac{dθ}{dt}\bm{P(θ+\frac{\pi}{2})}，\frac{d}{dt}\bm{P(-θ)}=-\frac{dθ}{dt}\bm{P(-θ+\frac{\pi}{2})}dtdP(θ)=dtdθP(θ+2π)，dtdP(−θ)=−dtdθP(−θ+2π)
运算技巧：
关于矩阵对应的初等变换的意义：
[0110]\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}[0110]
它左乘一个同尺寸的矩阵就是交换两行，而右乘同尺寸的矩阵就是交换两列。
有时候注意到这点可以简化计算。
对易性质：
利用[0110]\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}[0110]的初等变换的意义可以明显看出：
[0110]P(θ)=P(−θ)[0110]\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\bm{P(θ)}=\bm{P(-θ)}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}[0110]P(θ)=P(−θ)[0110]
P(θ)[0110]=[0110]P(−θ)\bm{P(θ)}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\bm{P(-θ)}P(θ)[0110]=[0110]P(−θ)
特殊角度变换：P(π2)=[01−10]，P(−π2)=[0−110]\bm{P(\frac{\pi}{2})}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}，\bm{P(-\frac{\pi}{2})}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}P(2π)=[0−110]，P(−2π)=[01−10]

七、功率的变换

首先注意到，Park变换并不影响变换前后的功率：
[uduq][idiq]=[uαuβ]PT(θ)P(θ)[iαiβ]=[uαuβ][iαiβ]\begin{bmatrix}u_d&u_q\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_\alpha&u_\beta\end{bmatrix} P^T(\theta)P(\theta) \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_\alpha&u_\beta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} [uduq][idiq]=[uαuβ]PT(θ)P(θ)[iαiβ]=[uαuβ][iαiβ]
再考察Clarke变换，有：
[uaubuc][iaibic]=[uαuβ]C−1TC−1[iαiβ]\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_\alpha&u_\beta\end{bmatrix} {C^{-1}}^TC^{-1} \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} [uaubuc]⎣⎡iaibic⎦⎤=[uαuβ]C−1TC−1[iαiβ]
利用Clarke变换的转置性质C−1T=3K22C\bm{{C^{-1}}^T}=\frac{3K^2}{2}\bm{C}C−1T=23K2C：
[uaubuc][iaibic]=23K2[uαuβ][iαiβ]\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix} =\frac{2}{3K^2} \begin{bmatrix}u_\alpha&u_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} [uaubuc]⎣⎡iaibic⎦⎤=3K22[uαuβ][iαiβ]

这里我们看出资料上一般声称Clarke变换中取K=23K=\sqrt\frac{2}{3}K=32时可变换保持功率不变的原因。

总结

通过以上推导搞明白了刚开始接触这些知识的时候关于KKK系数的不同取值的意义。

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