漫步微积分十八——变化率问题

向一个水箱注水，那么水平面将上升。为了描述水平面上升的快慢，我们用水平面变化率或者等价的，深度的变化率。如果水深用hh表示，tt表示时间，那么导数dh/dtdh/dt就是深度的变化率。更进一步，水箱中水的体积VV也在变化，dV/dtdV/dt是体积的变化率。

同样地，任何随时间变化的几何或物理量QQ是时间函数，即Q=Q(t)Q=Q(t)，它的导数dQ/dtdQ/dt是变化率。我们现在考虑的问题基于以下事实：如果两个变化量互相相关，那么他们的变化率也相关。

例1：往球形气球中以恒定的速度8 ft3/min8\ ft^3/min注入气体。(a)当r=2 ftr=2\ ft时，球半径rr增加的速度；(b)当r=4 ftr=4\ ft时，求半径rr增加的速度。

解：球的体积(图1)公式如下

V=43πr3(1)

\begin{equation} V=\frac{4}{3}\pi r^3\tag1 \end{equation}

图1

根据问题的陈述我们知道 dV/dt=8dV/dt=8，我们需要两个特定 rr 值对应的dr/dtdr/dt。我们需要理解问题的背景，即 V,rV,r 都是因变量， tt是潜在的自变量。有了这个想法，很自然想到(1)两边对tt求导可得到 V,rV,r的变化率

dVdt=43π⋅3r2drdt=4πr2drdt(2)

\begin{equation} \frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2\frac{dr}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\tag2 \end{equation}其中用到了链式法则。根据 dV/dt=8dV/dt=8，对(2)变形得

drdt=14πr2dVdt=2πr2

\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt}=\frac{2}{\pi r^2} 所以对于情况(a)

drdt=12π≅0.16 ft/min

\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\pi}\cong 0.16\ ft/min 对于情况(b)

drdt=18π≅0.04 ft/min

\frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi}\cong 0.04\ ft/min 这些结果证实了我们的常识。因为球的体积以恒定的速度增加，随着体积的增大，半径增加的会越来越慢。

例2：一个13 ft13\ ft长的梯子斜靠着墙。梯子的底端以恒定的速度6 ft/min6\ ft/min远离墙面。问：当梯子的底部离墙5 ft5\ ft时，顶部向下移动有多快？

解：第一步是画出图像并标出相关量，注意用字母来表示变化的量(图2)。通过图就能看出哪些是已知的，哪些是未知的：

dxdt=6,−dydt=?when x=5

\frac{dx}{dt}=6,\quad -\frac{dy}{dt}=? when\ x=5

图2
这里的负号我们可以这么理解， dy/dtdy/dt表示 yy增加的速率，−dy/dt-dy/dt表示 yy减小的速率。粗略地讲，我们知道了一个关于时间的导数，现在想知道另一个。因此我们需要找到连接x,yx,y的等式，通过对 tt求导得到连接他们变化率的等式。从图中可以清楚的看到可以应用毕达哥拉斯定理

x2+y2=169(3)

\begin{equation} x^2+y^2=169\tag3 \end{equation}两边分别对 tt求导得

2xdxdt+2ydydt=0ordydt=−xydxdyor−dydt=xydxdt

2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0\quad or\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dy}\quad or\quad -\frac{dy}{dt}=\frac{x}{y}\frac{dx}{dt} 因为 dx/dt=6dx/dt=6，所以

−dydt=6xy(4)

\begin{equation} -\frac{dy}{dt}=\frac{6x}{y}\tag4 \end{equation}利用等式(3)，当 x=5x=5时， y=12y=12，代入(4)得到我们的结果

−dydx=6⋅512=212 ft/min

-\frac{dy}{dx}=\frac{6\cdot 5}{12}=2\frac{1}{2}\ ft/min 警告：不要过早的使用 x=5,y=12x=5,y=12。问题的本质是 x,yx,y为变量；如果早早地使用具体值，如图3，那么我们不可能理解或解决问题。

图3
例3：一个锥形的水箱高为 12 ft12\ ft，最高处的直径为 12 ft12\ ft。水以 4 ft3/min4\ ft^3/min的速度注入水箱中。问：(a)当水深为 2 ft2\ ft时，水面上升的速率是多少；(b)当水深为 8 ft8\ ft时，速率又是多少。

解：跟之前一样，我们画出图像并标注已知和未知量(图4)。下一步是使用这些符号描述已知条件和我们要找的量：

dVdt=4,dxdt=? when x=2 andx=8

\frac{dV}{dt}=4,\quad \frac{dx}{dt}=?\ when\ x=2\ and x=8 水箱中变化的体积 VV是锥形，所以利用锥形体积公式

V=13πy2x(5)

\begin{equation} V=\frac{1}{3}\pi y^2x\tag5 \end{equation}我们关注的变量是 V,xV,x，所以我们希望消去 yy。观察图4，利用相似三角形的性质得

yx=612=12ory=12x(6)

\begin{equation} \frac{y}{x}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\quad or\quad y=\frac{1}{2}x\tag6 \end{equation}将它代入(5)得

V=π12x3(7)

\begin{equation} V=\frac{\pi}{12}x^3\tag7 \end{equation}现在(7)两边分别对 tt求导得

dVdt=π4x2dxdt(8)

\begin{equation} \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}x^2\frac{dx}{dt}\tag8 \end{equation}或者因为 dV/dt=4dV/dt=4

dxdt=4πx2dVdt=16πx2

\frac{dx}{dt}=\frac{4}{\pi x^2}\frac{dV}{dt}=\frac{16}{\pi x^2} 这个式子告诉我们，当 x=2x=2时

dxdt=4π≅1.27 ft/min

\frac{dx}{dt}=\frac{4}{\pi}\cong 1.27\ ft/min 当 x=8x=8时

dxdt=14π≅0.08 ft/min

\frac{dx}{dt}=\frac{1}{4\pi}\cong 0.08\ ft/min 至此问题解决。

图4
下面总结一下这些例题产生的方法：
求解有关速率问题的策略
1. 认真读问题，如果有必要就多读几遍，直到完全理解题意。
2. 根据题意认真作图。将已知的常数量标注出来，对变量用字母进行标注。
3. 以导数的形式写出已知的变化率和要求的变化率。
4. 找出第3步里连接两个变量的等式，如果需要的话可以使用几何知识来消去多余的变量。利用链式法则，等式两边分别对 t<script type="math/tex" id="MathJax-Element-67">t</script>求导。
5. 将第3步已知的变化率代入到第4步求得的微分等式中，解得所求的变化率。

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