漫步微积分十五——凹凸性和拐点

图像有个最显著的特征，就是它弯曲的朝向。图1的左边，曲线是凹的，右边是凸的。二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。

图1

正的二阶导f′′(x)>0f''(x)>0说明f′(x)f'(x)的斜率是xx的增函数。这意味着切线从左到右逆时针转动，如图2左边。我们说曲线是凹的(凹面是空心的那一边)。除了切点外，曲线位于切线的上方。同样的，如果二阶导是负的f′′(x)<0f''(x)，那么f′(x)f'(x)的斜率是减函数，切线从左到右顺时针转动，如图2右边。我们说曲线是凸的。除了切点以外，曲线位于切线的下方。

图2

大部分曲线在某些区间为凹的，在其他区间为凸的。像图2中的点P，通过它后凹凸性会改变，这样的点叫做拐点。如果 f′′(x)f''(x)是连续的，且在点 PP两侧符号相反，那么P本身就是零点。找拐点主要就是求解等式f′′(x)=0f''(x)=0，检查每个根两边的凹凸性。

例1：考虑函数

y=f(x)=2x3−12x2+18x−2

y=f(x)=2x^3-12x^2+18x-2
的凹凸性，计算一阶导

f′(x)=6x2−24x+18=6(x−1)(x−3)

f'(x)=6x^2-24x+18=6(x-1)(x-3)
二阶导

f′′(x)=12x−24=12(x−2).

f''(x)=12x-24=12(x-2).
驻点( f′(x)=0f'(x)=0的根)是 x=1,x=3x=1,x=3，对应的值为 y=6,y=−2y=6,y=-2。可能的拐点是 x=2x=2，因为它是 f′′(x)=0f''(x)=0的根。很明显 x<2x 时函数为正， x>2x>2时函数为负，所以图像在 x=2x=2左边为凸，右边为凹。所以的确存在一个拐点，如图3。

图3

例2：有理函数

y=1x2+1

y=\frac{1}{x^2+1}
比较容易画出来，因为它关于 yy轴对称。在x=0x=0处有最小值，因为此时分母最小，当 |x|→∞|x|\to \infty时， y→0y\to 0。从直觉上它的图像如图4。很明存在两个拐点，接下来的问题是如果确定他们的位置。首先，计算一阶导

y′=−2x(x2+1)2

y'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}
二阶导

y′′==(x2+1)2⋅(−2)+2x⋅2(x2+1)⋅2x(x2+1)4(x2+1)⋅(−2)+8x2(x2+1)3=2(3x2−1)(x2+1)3

\begin{eqnarray*} y'' &=&\frac{(x^2+1)^2\cdot (-2)+2x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\\ &=&\frac{(x^2+1)\cdot (-2)+8x^2}{(x^2+1)^3}=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}
解等式 y′′=0y''=0的 x=±1/3√x=\pm1/\sqrt{3}，拐点的位置。我们可以根据每部分凹凸性来证实最开始我们对它的大致印象。当 x2<13x^2时， y′′<0y''。当 x2>13x^2>\frac{1}{3}时， y′′>0y''>0。这些事实告诉我们 −1/3√<x<1/3√-1/\sqrt{3}时，图像时凸的，其余部分是凹的。

图4

注解1：我们已经在例子中说明，知道了f′′(x0)=0f''(x_0)=0不能保证x=x0x=x_0是拐点。我们还必须知道图像在x0x_0两侧的凹凸情况。考虑一个最简单的函数y=f(x)=x4y=f(x)=x^4(图5)。f′(x)=4x3,f′′(x)=12x2f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2，所以x=0x=0处f′′(x)=0f''(x)=0。然而，f′′(x)f''(x)在x=0x=0点的两侧均是正的，因此这个点对应的是极小值，不是拐点。函数y=x5−5x4y=x^5-5x^4给出了一个更复杂的类似情况。

图5

y′=5x4−20x3y′′=20x3−60x2=20x2(x−3).

y'=5x^4-20x^3\quad y''=20x^3-60x^2=20x^2(x-3).
y′′=0y''=0的根是 x=0,x=3x=0,x=3。然而， y′′y''在 x=0x=0处没有改变符号，所有只有 x=3x=3是拐点。图像在该点左边是凸的，右边是凹的。

注解2：我们很容易做出函数y=x1/3=x√3y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}的图像(图6)，明显在x=0x=0处有拐点。我们也可以通过求二阶导验证它

y′=13x−2/3

y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}

y′′=−29x−5/3=−29x5−−√3

y''=-\frac{2}{9}x^{-5/3}=\frac{-2}{9\sqrt[3]{x^5}}
所以如果 x<0x， y′′y''为正， x>0x>0， y′′y''为负。然而， y′′y''在 x=0x=0处不存在。为了找到拐点，我们不仅要考虑 y′′=0y''=0，还得考虑 y′′y''不存在的情况。

图6

注解3：有一个二阶导测试，也就是用二阶导来确定驻点是否为极大或极小值(非正式的用图7 来说明：如果f′(x0)=0f'(x_0)=0且f′′(x0)<0f''(x_0)，那么它是极大值(左图)；如果f′(x0)=0f'(x_0)=0且f′′(x0)>0f''(x_0)>0，那么它是极小值(右图))。有时候这个测试非常有用，但是经常被夸大了。之后我们会看到许多应用来确定极大极小值，没有哪种测试是万能的。

图7

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