【文献学习+方便自己使用】二阶一致性理论

2024-04-05 06:41:50

[1]Wei Ren. Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control[M].2008.
写在前面
对于一致性算法的学习，还需要有图论基础知识作为先导内容学习，这里不加赘述，符号完全按照规定去写，如果有看到的朋友觉得写的不清楚，我再加一下图论内容。

二阶状态方程如下：
ξ˙i=ζiζ˙i=uii=1,...,n\dot{\xi}_i=\zeta_i\quad\dot{\zeta}_i=u_i\quad i=1,...,nξ˙i=ζiζ˙i=uii=1,...,n
设计一致性算法如下：
ui=∑j=1naij(t)[(ξi−ξj)+γ(t)(ζi−ζj)],i=1,...,n(2)u_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}(t)[(\xi_i-\xi_j)+\gamma(t)(\zeta_i-\zeta_j)],\quad i=1,...,n (2)ui=∑j=1naij(t)[(ξi−ξj)+γ(t)(ζi−ζj)],i=1,...,n(2)
令ξ=[ξ1T,...,ξnT]T\xi=[\xi_1^T,...,\xi_n^T]^Tξ=[ξ1T,...,ξnT]T，ζ=[ζ1T,...,ζnT]T\zeta=[\zeta_1^T,...,\zeta_n^T]^Tζ=[ζ1T,...,ζnT]T。可以将状态方程改写为：

其中，

固定通信拓扑条件下的收敛分析

引理1：当且仅当当Θ\ThetaΘ有两个零特征值，且其他特征值都拥有复实部时，公式（2）达到渐进一致性。
引理2：如果−Ln-L_n−Ln有一个简单零特征值，其他特征值全为复实数，则算法（2）对任意γ>0\gamma>0γ>0渐进稳定。
定理1：如果算法（2）可以达到渐进稳定，则有向图GnG_nGn有一个有向生成树。
对于由复根μ\muμ的情况下，有

转换通信拓扑情况下的收敛性分析

引理1：如果时变通信拓扑Gn(t)G_n(t)Gn(t)在任意时刻无向且连接，算法（2）可达到渐进一致。
对于拓扑转换过程，要求如下：

定理1：令t0,t1,...t_0,t_1,...t0,t1,...为有向图转换时间。令τ\tauτ为保留时间ti+1−ti≥τ,∀i=0,1,...t_{i+1}-t_i\geq\tau,\forall i=0,1,...ti+1−ti≥τ,∀i=0,1,...。如果在每段t∈[ti,ti+1)t\in[t_i,t_{i+1})t∈[ti,ti+1)中，GnG_nGn有一有向生成树，γ\gammaγ为常数，并在每个σ∈P\sigma\in Pσ∈P中满足γ>γˉ\gamma>\bar{\gamma}γ>γˉ，且保留时间τ\tauτ满足τ>supσ∈P{aσχσ}\tau>sup_{\sigma\in P}\{\frac{a_\sigma}{\chi_\sigma}\}τ>supσ∈P{χσaσ}，则有向转换通信拓扑情况下，算法（2）满足渐进一致且在小扰动情况下具有鲁棒性。

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