σ 代数与测度（measures）

1. definition

Let A\mathcal A be a collection of subsets（集合的集合体，collection of subsets） of a sample space Ω\Omega，A\mathcal A is called σ\sigma-field (or σ\sigma-algebra)， ifff
- ϕ∈A\phi \in \mathcal A
- if A∈AA\in \mathcal A ⇒ Ac∈AA^c\in \mathcal A
  - ϕc=Ω∈A\phi^c=\Omega \in \mathcal A
- if Ai∈AA_i \in \mathcal A, then ∪iAi∈A\cup_{i}A_i\in \mathcal A
  - 又由德摩根定律可知，∩iAi∈A\cap_i A_i\in \mathcal A

存在 Ω\Omega 样本空间上的一个 σ\sigma 代数，便构成这样的 pair，(Ω,A)(\Omega, \mathcal A) 称为可测度空间。

A\mathcal A 是集合的集合体，所以其内部的元素就是集合，称其为可测集。

由以上可知，

最小的 σ 域为 {ϕ,Ω}\{\phi, \Omega\}
最大的 σ 域为 Ω\Omega 的幂集合（power set）

2. 概率测度

{Ω,A}\{\Omega, \mathcal A\}：可测度空间；
{Ω,A,ν}\{\Omega, \mathcal A, \nu\}：测度空间；
- 0≤ν(A)≤∞0\leq \nu (A)\leq \infty（这里是可以取到 ∞\infty，如果取不到 ∞\infty，总可以求和得到 1，就弱化为 belief）
- ν(ϕ)=0\nu(\phi)=0
- 可加性；
{Ω,A,ν}\{\Omega, \mathcal A, \nu\} & ν(Ω)=1\nu (\Omega)=1：概率测度空间，且通常将 ν\nu 记为 PP，也即 {Ω,A,P}\{\Omega, \mathcal A, P\} 称为概率空间；

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