向量组等价、矩阵等价与方程组可互推的关系

前置知识：

【定义】向量与向量组

前置定理 1　设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 为 $m \times n $ 矩阵，那么

A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P，使 P A = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} PA=B；
A ∼ c B \boldsymbol{A} \stackrel{c}{\sim} \boldsymbol{B} A∼cB 的充分必要条件是存在 n n n 阶可逆矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q，使 A Q = B \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} AQ=B；
A ∼ B \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} A∼B 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 和 n n n 阶可逆矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q，使 P A Q = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} PAQ=B。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

1 向量组等价与矩阵等价的关系

下面讨论向量组等价与矩阵变换的关系。

把向量组 A A A 和 B B B 所构成的矩阵依次记作 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 和 B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) B = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) B=(b1,b2,⋯,bl)。若向量组 B B B 能由向量组 A A A 线性表示，则有向量组 B B B 中的每个向量 b j ( j = 1 , 2 , ⋯ , l ) \boldsymbol{b}_j \ (j=1,2,\cdots,l) bj (j=1,2,⋯,l) 都能由向量组 A A A 线性表示，根据定义 5，即存在一组数 k 1 j , k 2 j , ⋯ , k m j k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{mj} k1j,k2j,⋯,kmj，使
b j = k 1 j a 1 + k 2 j a 2 + ⋯ + k m j a m = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) ( k 1 j k 2 j ⋮ k m j ) \boldsymbol{b}_j = k_{1j} \boldsymbol{a}_1 + k_{2j} \boldsymbol{a}_2 + \cdots + k_{mj} \boldsymbol{a}_m = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \begin{pmatrix} k_{1j} \\ k_{2j} \\ \vdots \\ k_{mj} \end{pmatrix} bj=k1ja1+k2ja2+⋯+kmjam=(a1,a2,⋯,am)⎝ ⎛k1jk2j⋮kmj⎠ ⎞

从而有
( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) ( k 11 k 12 ⋯ k 1 l k 21 k 22 ⋯ k 2 l ⋮ ⋮ ⋮ k m 1 k m 2 ⋯ k m l ) (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1l} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{ml} \end{pmatrix} (b1,b2,⋯,bl)=(a1,a2,⋯,am)⎝ ⎛k11k21⋮km1k12k22⋮km2⋯⋯⋯k1lk2l⋮kml⎠ ⎞
这里，矩阵 K m × l = ( k i j ) \boldsymbol{K}_{m \times l} = (k_{ij}) Km×l=(kij) 称为这一线性表示的系数矩阵。

由此可知，若 C m × n = A m × l B l × n \boldsymbol{C}_{m \times n} = \boldsymbol{A}_{m \times l} \boldsymbol{B}_{l \times n} Cm×n=Am×lBl×n，则矩阵 C \boldsymbol{C} C 的列向量组能由矩阵 A \boldsymbol{A} A 的列向量组线性表示， B \boldsymbol{B} B 为这一表示的系数矩阵：
( c 1 , c 2 , ⋯ , c n ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a l ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b l 1 b l 2 ⋯ b l n ) (\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_n) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_l) \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} & \cdots & b_{ln} \end{pmatrix} (c1,c2,⋯,cn)=(a1,a2,⋯,al)⎝ ⎛b11b21⋮bl1b12b22⋮bl2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bln⎠ ⎞
同理可知，矩阵 C \boldsymbol{C} C 的行向量组能由矩阵 B \boldsymbol{B} B 的行向量组线性表示， A \boldsymbol{A} A 为这一表示的系数矩阵：

( γ 1 T γ 2 T ⋮ γ m T ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 l a 21 a 22 ⋯ a 2 l ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a l l ) ( β 1 T β 2 T ⋮ β l T ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{\gamma}_1^T \\ \boldsymbol{\gamma}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_m^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1l} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{ll} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1^T \\ \boldsymbol{\beta}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_l^T \end{pmatrix} ⎝ ⎛γ1Tγ2T⋮γmT⎠ ⎞=⎝ ⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1la2l⋮all⎠ ⎞⎝ ⎛β1Tβ2T⋮βlT⎠ ⎞

根据前置定理 1：设矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 行等价，即矩阵 A \boldsymbol{A} A 经初等行变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B，则 B \boldsymbol{B} B 的每个行向量都是 A \boldsymbol{A} A 的行向量组的线性组合，即 B \boldsymbol{B} B 的行向量组能由 A \boldsymbol{A} A 的行向量组线性表示。由于初等变换可逆，知矩阵 B \boldsymbol{B} B 亦可经初等行变换变为 A \boldsymbol{A} A，从而 A \boldsymbol{A} A 的行向量组也能由 B \boldsymbol{B} B 的行向量组线性表示。于是 A \boldsymbol{A} A 的行向量组与 B \boldsymbol{B} B 的行向量组等价。

类似可知，设矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 列等价，则 A \boldsymbol{A} A 的列向量组与 B \boldsymbol{B} B 的列向量组等价。

于是得到定理如下：

定理 1　若矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 行等价，则 A \boldsymbol{A} A 的行向量组与 B \boldsymbol{B} B 的行向量组等价。若矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 列等价，则 A \boldsymbol{A} A 的列向量组与 B \boldsymbol{B} B 的列向量组等价。

2 向量组等价与方程组可互推的关系

对方程组 A A A 的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A A A 的一个线性组合；若方程组 B B B 的每个方程都是方程组 A A A 的线性组合，就称方程组 B B B 能由方程组 A A A 线性表示，这时方程组 A A A 的解一定是方程组 B B B 的解；若方程组 A A A 与方程组 B B B 能相互线性表示，就称这两个方程组可互推，可互推的线性方程组一定同解。