目录

前言

第一章概率论的基础概念

知识大纲

随机试验

随机事件

事件概率

等可能概率模型

第二章概率论的基本定理

知识大纲

条件概率

独立性

全概率公式

贝叶斯公式

第五章多维随机变量及其分布

知识大纲

二维随机变量

两种二维随机变量

边缘分布和条件分布

边缘分布定义

离散型边缘分布

连续型边缘分布

条件分布定义

离散型条件分布

连续型条件分布

相互独立的随机变量

两个随机变量的函数分布

第六章样本及抽样分布

知识大纲

总体与样本

统计量

统计三大抽样分布

标准正态分布 X~N (0,1)

卡方分布

t分布

样本均值和方差

第七章参数估计

知识大纲

点估计

矩估计法

极大似然估计法

估计量的评选标准

区间估计

正态分布总体均值和方差的区间估计

均值区间估计

方差置信区间

第八章假设检验

知识大纲

小概率事件和否定域

已知期望方差的假设检验

未知期望方差的假设检验

题外话

前言

所用课本是郝志峰老师所编著的《概率论与数理统计》本篇文章主要是以核心知识点为主，为穿插部分习题，以此来达到学习的目的。所用课件是老师上课的课件。你准备好了吗？~

第一章概率论的基础概念

知识大纲

1.随机试验

2.随机事件

3.事件概率

4.等可能概率模型

随机试验

1.可以在相同的条件下重复进行

2.可能结果不止一个，能事先明确所有可能结果

3.测试前不能确定哪一个结果会出现。

随机事件

由样本空间S、样本点、事件、基本事件组成

样本空间S：随机试验的所有可能结果组成的集合

样本点：样本空间的元素

事件：样本空间的子集

基本事件：由一个样本点组成的单点集

答：A是基本事件，B不是基本事件。B是多个样本点所组成的集合故不满足单点集的概念

从单个随机事件的结果来看有三种情况

1.当且仅当随机事件中的一个样本点发生时事件发生（如上题当掷骰子掷出3点的时候事件B发生）

2.必然事件（如上题，掷出点数小于7点）

3.不可能事件（如上题，掷出点数为7点）

从两个或者多个随机事件

事件之间的关系有

除此之外还有互斥事件和对立事件

事件概率

这么说有点抽象，那举出一个例子来体会一下

这题不难，但很多同学做这道题都做不对（我之前也写错了）

解析：首先要弄清楚，小明喜欢这两本书是不是独立事件。0.4×0.5=0.2≠0.3 ，故这不是独立事件，喜欢两本书是有关联的，你不能用独立事件的公式带进去。那么我们应该怎么算呢？设P(A)为小明喜欢第一本书的概率，P(B)为小明喜欢第二本书的概率。由题意可知P(A)=0.5;P(B)=0.4。他有一本书是喜欢的事件为C事件，则P(C)=P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.3=0.6，那么C事件的相反事件就是两本书都不喜欢的事件，则答案为1-0.6=0.4

等可能概率模型

这个高中应该是有学过的，在这我就不再赘述了，只需要记住主要的公式就好了。

注意：在这里知识点出题重点在于放回和不放回

那么来道题来试试吧

解析：总共5双鞋子也就是10只鞋子，题目的意思是从10只里面取4只。对于第一个问题，我们可以这样想：4只鞋子刚好为2双，那么满足条件的事件就等于我从5双鞋子里抽出2双来的事件数量 $C_{5}^{2}\textrm{}$ 。总的基本事件数量是 $C_{10}^{4}\textrm{}$ ，故概率就等于它们两个相除。对于第二个问题，我们可以这样想：先从5双鞋中抽出4双来也就是 $C_{5}^{4}\textrm{}$ ,因为每双鞋子分为左右脚，所以还要乘 $2^{4}$ ，故概率就等于 $C_{5}^{4}\textrm{}$ × $2^{4}$

再除总的基本事件数量。对于第三个问题，我们可以这样想：先从5双中抽1双出来，这时候我们还剩下两只鞋要抽，从剩下4双鞋中选2双出来再选择左右脚。也就是 $C_{5}^{1}\textrm{}\cdot C_{4}^{2}\textrm{}\cdot 2^{2}$ ，再将其于总的基本事件相除就好了

第二章概率论的基本定理

知识大纲

1.条件概率

2.独立性

3全概率公式

4.贝叶斯公式

条件概率

独立性

全概率公式

贝叶斯公式

第五章多维随机变量及其分布

知识大纲

1.二维随机变量

2.边缘分布和条件分布

3.相互独立的随机变量

4.两个随机变量的函数分布

二维随机变量

定义：什么是二维随机变量？

E为随机试验，X,Y为定义在样本空间S的两个随机变量。向量（X,Y）称为二维随机变量。

现在我们知道了联合分布函数的图像和公式，它的性质是什么呢？

联合分布函数的性质

1.F(x,y)是变量x,y的不减函数

2. 0 ≤ F(x,y) ≤ 1； F(-∞,y) = 0 ； F(x,+∞) = 0 ; F(-∞,-∞) = 0 ; F(+∞,+∞) = 1

3.F(x+0,y) = F(x, y+0) = F(x,y)

两种二维随机变量

一、二维离散型随机变量

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值为 $(xi,yi)$ ，则称 $P(xi,yi) = pij$ 为联合分布律

二、二维连续性随机变量

题目：

解：

边缘分布和条件分布

边缘分布定义

离散型边缘分布

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 全部可能取到的值是有限或可列无限多对，则称 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量。

连续型边缘分布

对于二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(X,Y)$ ，如果存在非负可积函数 $f(x,y)$ 使对任意x，y有下图关系式，则称 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量。

除此之外，连续型边缘分布还有一些推到公式。

题目：

解：

条件分布定义

其中第二条为 $Y=yj$ 条件下随机变量 X的条件分布律。

离散型条件分布

题目：

解：

连续型条件分布

称上式为 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度，该式子也反应了联合概率密度和条件分布、边缘概率密度的关系。

题目：

解：

相互独立的随机变量

对于连续型随机变量， $f(x,y)=fX(x)fY(y)$ 几乎处处成立。

题目：

两个随机变量的函数分布

第六章样本及抽样分布

知识大纲

1.总体与样本

2.统计量

3.统计三大抽样分布

4.样本均值和方差

总体与样本

首先我们要了解一些相关的概念

总体：研究对象的全体
个体：总体中的每一个成员
容量：总体里包含个体的数量

一般来说总体的分布是未知的，但是知道其分布是服从何种分布，我们从总体中抽出若干个个体的过程就叫抽样，抽取的部分个体称为样本

	直观理解	数学本质
总体	研究对象的全体	随机变量X
个体	组成总体的每个样本单位	与总体同分布的某个随机变量
样本	总体抽出的n个个体	n个随机变量，X1、X2...Xn
简单随机抽样	重复、独立抽取所得样本	要求X1..Xn互相独立，且与总体同分布

统计量

统计量的定义：不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本决定的量

常见的统计值

常见的观察值

样本平均值

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Xi$

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}xi$

样本方差 $S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Xi-\bar{X})^{2}$

$S^{2} = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}Xi^{2}-n \bar{X}^{2})$

$x^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(xi-\bar{x})^{2}$

$x^{2} = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}xi^{2}-n \bar{x}^{2})$

经验分布函数，其中s(x)为x1,x2,x3....xn中不大于x的随机变量的个数

$Fn(x) = \frac{1}{n}s(x)$

例子：设F有样本值1，1，2，其经验分布函数为什么

解析：

统计三大抽样分布

标准正态分布 X~N (0,1)

性质：E(X) = 0 , D(X) = 1

标准正态分布比较简单在此就不做过多的赘述了

卡方分布

什么是卡方分布？

X1,X2.......Xn相互独立，且均满足正态分布N（0，1），则有

$x^{2} = X1^{2}+X2^{2}+X3^{2}..+Xn^{2}$

所服从的分布为自由度为n的 $x^{2}$ 分布，记作 $x^{2}$ ~ $x^{2}$ （n）

卡方分布的重要性质

题目：

解析：令 $a(X1+X2)^{2}$ 为m， $b(X2+X3)^{2}$ 为n，当m和n互相独立时候才有m+n ~ $x^{2}$ ，故该题需要令b = 0，来切断联系。所以答案选C

t分布

什么是t分布？

t分布的重要性质

$E(t)=0$

$D(t)=\frac{n}{n-2}$

样本均值和方差

假如现在我从一个已知总体分布为正态分布的总体中抽出了n个样本（总体均值u和方差已知），那么样本均值和方差为

我们常用到的样本均值分布和样本方差分布

注意到了在求样本方差的时候如果总体的方差已知就用卡方分布，反之则用t分布

下面我们用一道题来体会一下上面这句话是什么意思

题目：设总体X服从正态分布N（12， $\sigma$ ）抽取容量为25的样本，求得样本均值 $\bar{X}$ 大于12.5的概率。如果

（1）已知 $\sigma$ =12；

（2）未知 $\sigma$ ，但已知方差样本 $S^{2}$ = 5.57

解析：

第七章参数估计

知识大纲

1.点估计

1.1矩估计法

1.2极大似然估计法

2.估计量的评选标准

3.区间估计

4.正态分布总体均值和方差的区间估计

4.1均值区间估计

4.2方差置信区间

点估计

矩估计法

一般来说题目只涉及一阶的情况由大数定理我们可以得出，当样本数量n充分大的时候，样本矩就近似于总体矩

极大似然估计法

值得注意的是极大似然估计量的式子与样本矩的式子一样！极大似然估计量是先通过似然函数取对数，再求导数，最后解导数等于零时极大似然估计量的式子。

估计量的评选标准

什么是无偏估计？

理解了什么是无偏估计后我们来做一道题

解析：即需证E(T1) = E(T2) = θ

这个证明较为简单，下面只列出T1的证法，T2同理

当算出E(T2) = θ 时我们又遇到了一个问题哪个无偏估计更好点呢？对于这个我们要看方差

解析：

再来一道题练习，这道题要用到之前学过的知识

解析：（我这写的比较乱，可能不太看得清）

区间估计

什么是区间估计呢？

假如估计全校同学的身高符合正态分布X~N（u，0.1）。我从总体中抽出若干个样本，假如我抽五个，它们分别是：1.65、1.67、1.68、1.78、1.69

那我估计u = 1.68 （点估计）

我估计u∈ [1.57,1.86]（区间估计）

在区间估计中有一个很重要的概念，那就是置信水平（也可称之为置信度）。

正态分布总体均值和方差的区间估计

均值区间估计

在这里设题一般分为两种情况，第一种是已知正态分布的方差，第二种是未知正态分布的方差。两种情况一般让你求的是总体均值u置信度为1-a的置信区间

下面是基本的解法

（注意：这里因为你是从总的正态分布中取样本出来，所以样本的均值 $\bar{x}$ 和它的样本方差S已知）

同样的未知方差也有其基本公式

现在来道题测试一下

首先判断是第二种情况，正态分布总体方差未知的情况，要用t分布。已知自由度为25，样本均值为170，样本标准差为25，代入公式。

方差置信区间

这里相比于求均值的置信区间的方法，大部分是类似，但是满足的分布是X^2分布，并且X^2分布的图像不像是t分布是关于y轴对称的，故在下面概率P的关系式有些许不同！！

这里也来道题来试试

解析：

最后的答案是（12.177，19.747）

现在把求均值和方差的置信区间综合起来做一道题

答案我放在下面了

第八章假设检验

知识大纲

1.小概率事件和否定域

2.已知期望方差的假设检验

3.未知期望方差的假设检验

小概率事件和否定域

数学上，把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，除非我们原先猜测的分布错了，不然很难出现小概率事件。

已知期望方差的假设检验

由这题题干我们可以得知我们已知的是样本平均值、总体正态分布的方差、抽样的数量。现在要求我们证明的是，这个样本平均值是否是落在显著水平α为0.05正态分布的否定域上的，因此为了方便起见，我们先假设μ=32.5，观察是否数据平均值是落在否定域上的。

解析：

也就是说当样本均值为36.5时，它落在了总体均值为32.5的否定域上这个事件发生的概率极小，故原先的假设即总体均值为32.5不成立，所以能推出来，这批产品不合格

此外与产品合格的假设检验相类似的是药物有效的假检验，主要的区别在于原假设的设置！！

未知期望方差的假设检验

那么相比于已知期望方差的假设检验，未知期望方差的假设检验该怎么做呢？

答案很简单，那就是服从的分布不同！

解析：

样本均值落在了否定域外的，故原假设是成立的，因此这批产品是合格的！

那我们现在来一道比较综合的假设检验例题看看

解析：

题外话

这篇文章会持续更新，记录学习过程中发现以及解决的问题！如果有什么疑问欢迎大家在底下留言讨论！我们一起进步拿offer！

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随机试验

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第二章 概率论的基本定理

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独立性

全概率公式

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第五章 多维随机变量及其分布

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二维随机变量

两种二维随机变量

边缘分布和条件分布

边缘分布定义

离散型边缘分布

连续型边缘分布

条件分布定义

离散型条件分布

连续型条件分布

相互独立的随机变量

两个随机变量的函数分布

第六章 样本及抽样分布

知识大纲

总体与样本

统计量

统计三大抽样分布

标准正态分布 X~N (0,1)

卡方分布

t分布

样本均值和方差

第七章 参数估计

知识大纲

点估计

矩估计法

极大似然估计法

估计量的评选标准

区间估计

正态分布总体均值和方差的区间估计

均值区间估计

方差置信区间

第八章 假设检验

知识大纲

小概率事件和否定域

已知期望方差的假设检验

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题外话

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