Luogu P2495 [SDOI2011]消耗战

problem

Solution

苦思冥想稍作思考之后可以得到一个树形DP的方法：
令\(w(u,v)\)表示u，v之间的边的权值，\(f[u]\)表示以\(u\)为根的子树（不含\(u\)）中所有关键点与根断开的最小代价，则转移方程为：
\[f[u]=\begin{cases}w(u,v)&\text{如果v是关键点}\\min(w(u,v),dp[v])&\text{如果v非关键点}\end{cases}\]

复杂度为\(O(nm)\)，显然不正确

对于每次询问可以建立一颗虚树，边权为关键点之间最小的权值

在这道题中，如果一个关键点\(u\)的祖先中有关键点\(v\)，那么\(u\)是不需要加入虚树的，因为\(v\)一定需要断开，同时也就断开了\(u\)

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define maxn 250005
using namespace std;
typedef long long ll;const ll inf=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
int n,m,k,h[maxn];
int dep[maxn],dfn[maxn],sign,prt[maxn][21],key[maxn];
ll dp[maxn],mnc[maxn][21];struct edge
{int u,v,nxt;ll w;
};namespace Ori
{edge g[maxn*2];int head[maxn],ecnt;void eADD(int u,int v,ll w){g[++ecnt].u=u;g[ecnt].v=v;g[ecnt].w=w;g[ecnt].nxt=head[u];head[u]=ecnt;}
}namespace New
{edge g[maxn];int head[maxn],ecnt;void eADD(int u,int v,ll w){g[++ecnt].u=u;g[ecnt].v=v;g[ecnt].w=w;g[ecnt].nxt=head[u];head[u]=ecnt;}void Inti(){for(register int i=1;i<=ecnt;++i)g[i].u=g[i].v=g[i].nxt=0,g[i].w=0LL;ecnt=0;}
}void dfs(int u,int fa,int depth,ll w)
{dep[u]=depth,prt[u][0]=fa,mnc[u][0]=w,dfn[u]=++sign;for(register int i=1;(1<<i)<=depth;++i){prt[u][i]=prt[prt[u][i-1]][i-1];mnc[u][i]=min(mnc[u][i-1],mnc[prt[u][i-1]][i-1]);}for(register int i=Ori::head[u];i;i=Ori::g[i].nxt){int v=Ori::g[i].v;if(v==fa)continue;dfs(v,u,depth+1,Ori::g[i].w);}
}int LCA(int x,int y)
{if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);for(register int i=20;i>=0;--i)if(dep[prt[x][i]]>=dep[y])x=prt[x][i];if(x==y)return x;for(register int i=20;i>=0;--i)if(prt[x][i]!=prt[y][i])x=prt[x][i],y=prt[y][i];return prt[x][0];
}bool cmp(const int &a,const int &b)
{return dfn[a]<dfn[b];
}ll getmnc(int u,int v)
{ll re=inf;if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);for(register int i=20;i>=0;--i)if(dep[prt[u][i]]>=dep[v])re=min(re,mnc[u][i]),u=prt[u][i];return re;
}int top,stk[maxn];
void Build()
{for(register int i=1;i<=k;++i){if(top==1){stk[++top]=h[i];continue;}int lca=LCA(stk[top],h[i]);if(lca==stk[top])continue;while(top>1 && dfn[stk[top-1]]>=dfn[lca])New::eADD(stk[top-1],stk[top],getmnc(stk[top-1],stk[top])),--top;if(lca!=stk[top])New::eADD(lca,stk[top],getmnc(lca,stk[top])),stk[top]=lca;stk[++top]=h[i];}while(top-1)New::eADD(stk[top-1],stk[top],getmnc(stk[top],stk[top-1])),--top;
}void DP(int u)
{dp[u]=0;if(!New::head[u])return;for(register int i=New::head[u];i;i=New::g[i].nxt){int v=New::g[i].v;DP(v);if(key[v])dp[u]+=New::g[i].w;elsedp[u]+=min(New::g[i].w,dp[v]);}New::head[u]=0;
}int main()
{scanf("%d",&n);for(register int i=1;i<n;++i){int u,v;ll w;scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);Ori::eADD(u,v,w),Ori::eADD(v,u,w);}dfs(1,0,1,inf);scanf("%d",&m);while(m--){scanf("%d",&k);for(register int i=1;i<=k;++i){scanf("%d",&h[i]);key[h[i]]=1;}sort(h+1,h+k+1,cmp);top=0;stk[++top]=1;New::Inti();Build();DP(1);printf("%lld\n",dp[1]);for(register int i=1;i<=k;++i)key[h[i]]=0;}return 0;
}