1. 简介

1972年，R. D. Duda和P. E. Hart¹提出了直线的检测方法，而且还推广到了霍夫圆的检测方法，通常称为标准的霍夫圆检测。

2. 标准霍夫圆检测

2.1 情形一

已知圆的圆心坐标为(a,b)(a, b)(a,b)，半径为rrr，则圆在xoyxoyxoy平面内的方程可表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2。那么反过来考虑一个简单的问题：已知xoyxoyxoy平面内的点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...(x_1, y_1)、(x_2, y_2)、(x_3, y_3)、...(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...，且已知这些点在一个半径为rrr的圆上，如何求这个圆的圆心？

下面通过一个简单的示例来理解上述问题的求解过程。如下图1所示，假设在xoyxoyxoy平面内有三个点(1,3)、(2,2)、(3,3)(1, 3)、(2, 2)、(3, 3)(1,3)、(2,2)、(3,3)，且知道这三个点在一个半径为1的圆上，可以通过中学知识尺规作图法找到圆心，以每个点为圆心、1为半径分别画圆，则这三个圆的交点及即为圆心。

图1 3个圆的交点定圆心

现从另一个角度来理解尺规作图的过程。将(1,3)(1, 3)(1,3)代入圆方程得(1−a)2+(3−b)2=12(1-a)^2+(3-b)^2=1^2(1−a)2+(3−b)2=12，所以可以理解为一个点对应到aobaobaob平面内的一个圆；同理，通过其他两个点也可以得到两个圆，那么这三个圆在aobaobaob平面内共同的交点即为三个点共圆的圆心。

2.2 情形二

在上面问题的基础上，提出一个稍微复杂一点的问题：已知xoyxoyxoy平面内的点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...(x_1, y_1)、(x_2, y_2)、(x_3, y_3)、...(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...，且已知这些点在多个圆上，这些圆的半径均为rrr，那么哪些点在同一个圆上，并计算出圆心的坐标。

例如已知在xoyxoyxoy平面内有5个点(1,3)、(2,2)、(3,3)、(3,1)、(4,3)(1, 3)、(2, 2)、(3, 3)、(3, 1)、(4, 3)(1,3)、(2,2)、(3,3)、(3,1)、(4,3)，且知道这些点可能位于不同的圆上，这些圆的半径均为1，求出哪些点在同一个圆上。这里也用尺规作图法，首先分别以5个点为圆心、1为半径作出5个圆，圆的交点即为圆心，如下图2所示。

图2 确定哪些点在同一个圆上

2.3 情形三

以上碰到的两种情况均是在已知半径的情况下，现引入一个更复杂的问题：已知xoyxoyxoy平面内的点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...(x_1, y_1)、(x_2, y_2)、(x_3, y_3)、...(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、...，求出哪些点在同一个圆上且半径为多少，以及圆心的坐标。由于多了一个参数，所以需要第三维的坐标rrr，即需要在三维空间abrabrabr中讨论该问题。任意一个点(xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)对应到abrabrabr空间中的锥面(xi−a)2+(yi−b)2=r2(x_i-a)^2+(y_i-b)^2=r^2(xi−a)2+(yi−b)2=r2，那么如果多个锥面相交于一点(a′,b′,r′)(a', b', r')(a′,b′,r′)，则说明这些锥面对应的xoyxoyxoy平面内的点是共圆的且圆心为(a′,b′)(a', b')(a′,b′)，半径为r′r'r′，如下图3所示。

图3 确定哪些点在同一个圆上，以及对应的半径和圆心

该过程相当于先固定rrr，然后转换为以上讨论的已知rrr的情况，即第二个问题是第三个问题的一种特殊情况。

3. 程序演示

与霍夫直线检测类似，图像的霍夫圆检测就是检测哪些前景或边缘像素点在同一个圆上，并给出对应圆的圆心坐标及圆的半径；而且仍然需要计数器来完成该过程，只是这里的计数器从二维变成了三维，下面利用Python来详细描述构造三维计数器的过程，并对下图进行霍夫圆检测。

# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
import numpy as np
import cv2
import math# 标准霍夫圆检测
def HTCircle(I, minR, maxR, voteThresh=100):# 宽、高H, W = I.shape# 归为整数minr = round(minR) + 1maxr = round(maxR) + 1# 初始化三维的计数器r_num = int(maxr - minr + 1)a_num = int(W - 1 + maxr + maxr + 1)b_num = int(H - 1 + maxr + maxr + 1)accumulator = np.zeros((r_num, b_num, a_num), np.int32)# 投票计数for y in range(H):for x in range(W):if (I[y][x] == 255):  # 只对边缘点做霍夫变换for k in range(r_num):  # r 变化的步长为 1for theta in np.linspace(0, 360, 360):# 计算对应的 a 和 ba = x - (minr + k) * math.cos(theta / 180.0 * math.pi)b = y - (minr + k) * math.sin(theta / 180.0 * math.pi)# 取整a = int(round(a))b = int(round(b))# 投票accumulator[k, b, a] += 1# 筛选投票数 大于 voteThresh的圆circles = []for k in range(r_num):for b in range(b_num):for a in range(a_num):if (accumulator[k, b, a] > voteThresh):circles.append((k + minr, b, a))return circles# 主函数
if __name__ == "__main__":# if len(sys.argv) > 1:# 输入图像I = cv2.imread('../data/coins.jpg', 1)# print(I.shape)# canny 边缘检测edge = cv2.Canny(I, 50, 200)cv2.imshow("edge", edge)cv2.waitKey()# 霍夫圆检测circles = HTCircle(edge, 30, 60, 80)# 画圆for i in range(len(circles)):cv2.circle(I, (int(circles[i][2]), int(circles[i][1])), int(circles[i][0]), (0, 0, 255), 2)# 绘制圆心cv2.circle(I,  (int(circles[i][2]), int(circles[i][1])), 2, (0, 0, 255), 3)cv2.imshow("detected circles", I)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

检测效果如下图所示：

上述代码单纯从原理出发进行描述构造三维计数器的过程，目的是加深对标准霍夫圆检测原理的理解。由于其计算量较大运行效率较低，下一讲基于梯度霍夫圆检测函数HoughCircles将会在这些方面有较大的改进。

4. 结尾

在这一讲中，我们对标准霍夫圆检测由浅入深地分三种情形进行了讨论，从检测原理的角度出发给出了程序演示代码，描述构造三维计数器的过程，在下一讲将讲解基于梯度的霍夫圆检测函数。

参考资料

《OpenCV算法精解：基于Python和C++》（张平编著），电子工业出版社，2017
Duda R O , Hart P E . Use of the Hough Transform to Detect Lines and Curves in Pictures. 1975.

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Duda R O , Hart P E . Use of the Hough Transform to Detect Lines and Curves in Pictures. 1975. ↩︎

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