1. 回顾与目标

上一讲标准的霍夫变换对于曲线检测是一项强有力的技术，但是随着曲线参数数目的增加，造成计数器的数据结构越来越复杂，如直线检测的计数器是二维的，圆检测的计数器是三维的，这需要大量的存储空间和巨大的计算量，因此通常采用其他方法进行改进，如同概率直线检测对标准霍夫直线检测的改进，那么基于梯度的霍夫圆检测¹²就是对标准霍夫圆检测的改进，下面将详细介绍其步骤。

2. 基于梯度的霍夫圆检测

2.1 问题分析

首先提出一个问题：如下图1所示，如何通过尺规作图法找到图（a）中圆的圆心，并量出半径？首先在圆上至少找到两个点，如图（b）所示，这里取了三个点A、B、C，然后画出经过圆A、B、C的圆的切线，在分别经过这三个点作切线的垂线（法线），那么这三条法线的交点就是圆心，从圆心到圆上任意一点的距离即为圆的半径。

图1 通过切线定位圆心

现在反过来考虑一个问题：假设已知某些点，并知道这些点的梯度方向（切线方向），那么如何定位哪些点在同一个圆上，并计算出对应圆的半径。如下图2所示，假设已知xoyxoyxoy平面内的点A、B、C、D、EA、B、C、D、EA、B、C、D、E，且知道这些点的梯度方向，首先画出过这些点的法线，如图（b）所示。这里展示的正好是5条法线交于一点的情形，不同法线相交于不同点的情形与之类似，那么交点就有可能是圆心，注意只是有可能，还需要通过下一步量半径的过程，如图（c）所示，进一步确定哪些交点是圆心。

图2 基于梯度的霍夫圆检测

假设交点OOO到A、B、CA、B、CA、B、C这三个点的距离是r1r_1r1，到DDD点的距离是r3r_3r3，到EEE点的距离是r2r_2r2，即5个点到交点OOO半径为r1r_1r1的支持度是3，半径为r2r_2r2的支持度是1，半径为r3r_3r3的支持度是1，通过支持度的高低作为最后对圆的选择，如图（d）所示。

2.2 基于梯度的霍夫圆检测步骤

通过上述的问题分析，可以得到基于梯度的霍夫圆检测的大体步骤分为两步：

定位圆心，包含两个参数
计算半径，包含一个参数

在程序代码实现中，首先构造一个二维计数器，然后在构造一个一维计数器，所以又称2-1霍夫圆检测。

3. 基于梯度的霍夫圆检测函数HoughCircles

3.1 函数HoughCircles

在图像中如何获得一个边缘像素点位置的梯度呢？这一点需要回忆一下Canny边缘检测中的“非极大值抑制”，其中有介绍通过Sobel算子计算梯度方向。OpenCv提供的函数HoughCircles实现了基于梯度的霍夫圆检测，在该函数的实现过程中，使用了Sobel算子且内部实现了边缘二值图，所以输入的图像不用像函数HoughLinessP和HoughLines一样必须是二值图。下面介绍该函数的使用方法。

该函数的Python API如下：

HoughCircles(image, method, dp, minDist[, circles[, param1[, param2[, minRadius[, maxRadius]]]]]) -> circles

其参数解释如下表1所示。

表1 函数HoughCircles的参数解释

参数	解释
image	输入图像矩阵，8位单通道,灰度图
method	检测方法, 目前,唯一被实现的方法是`#HOUGH_GRADIENT`，即2-1霍夫圆检测
dp	图像分辨率与累加器分辨率之比。例如若`dp=1`, 则累加器与输入图片有相同的分辨率, 若`dp=2`，累加器的宽度和高度只有其一半
minDist	被检测到的圆心之间的最小距离，如果距离太小，则会产生很多相交的圆；如果距离太大，则会漏掉正确的圆
circles	返回圆的信息，每一个向量被表示为3或4个元素的浮点数向量(x,y,radius)(x, y, radius)(x,y,radius) 或 (x,y,radius,votes)(x, y, radius, votes)(x,y,radius,votes)，即圆的横坐标、纵坐标、半径、投票数。
param1	传递给Canny边缘检测的两个阈值中的高阈值，低阈值默认为它的一半
param2	检测阶段圆心的累加器阈值，该值越小, 越多错误的圆将被检测出来，在投票中获得高票的圆将被先返回
minRadius	需要检测圆的最小半径
maxRadius	需要检测圆的最大半径，如果该值等于0, 则使用图像的最大尺寸；如果小于0, 则返回圆心位置

3.2 代码演示

该函数调用的演示代码如下：

import numpy as np
import cv2 as cv
import matplotlib.pyplot as pltimg = cv.imread('../data/coins.jpg')
# BGR图像转为RGB图像, plt可以正常显示
img_RGB = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB)
plt.subplot(121), plt.imshow(img_RGB, cmap='gray')
plt.title('Original img'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
# 去噪
img_blur = cv.medianBlur(img,5)
img_gray = cv.cvtColor(img_blur, cv.COLOR_BGR2GRAY)
circles = cv.HoughCircles(img_gray, cv.HOUGH_GRADIENT, 1, 40,param1=200, param2=50, minRadius=50, maxRadius=130)
# circles = cv.HoughCircles(img_gray,cv.HOUGH_GRADIENT,1,80,
#  param1=150,param2=40,minRadius=30,maxRadius=80)
circles = np.uint16(np.around(circles))
for i in circles[0, :]:# 绘制外圆img_circle = cv.circle(img, (i[0], i[1]), i[2], (0, 255, 0), 2)# 绘制圆心img_circlep = cv.circle(img, (i[0], i[1]), 2, (0, 0, 255), 3)
img_circlep = cv.cvtColor(img_circlep, cv.COLOR_BGR2RGB)
plt.subplot(122), plt.imshow(img_circlep, cmap='gray')
plt.title("detected circles (minDist=40)"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

检测效果如下图3所示。

图3 基于梯度的霍夫圆检测效果

从图3中可以看出，对原图中的10个硬币进行基于梯度的霍夫圆检测，定位10个圆形硬币的位置，通过调整不同的参数查看检测效果。当minDist=10时，可以发现很多相交的圆，这种情况可能是由于minDist参数设置太小的原因。当minDist=30时，相交的圆消除了，但仍然有一个干扰的圆，而且这个圆的半径较小，可以将圆的最小半径minRadius参数值设置得稍微大一点进行筛选，最终得到第四幅图的结果。霍夫圆检测的缺点实在不知道一些先验知识的情况下，需要多次调整参数才有可能得到我们想要的结果。

4. 结尾

本讲主要讲解了对标准霍夫圆检测的改进，分析了基于梯度的霍夫圆检测原理，并给出了检测步骤，还对检测函数HoughCircles参数进行了介绍，最后给出了代码演示与检测效果。

参考资料

《OpenCV算法精解：基于Python和C++》（张平编著），电子工业出版社，2017
Davies E. R. A modified Hough scheme for general circle location,Pattern RecognitionLetters, vol 7, no.1,pp 37-44,1988. ↩︎
Yuen,H. K. and Princen, J. and Illingworth, J. and Kittler,J…Comparative study of Houghtransform methods for circle finding. Image Vision Comput. 8 1,pp 71-77 (1990).

Davies E. R. A modified Hough scheme for general circle location,Pattern RecognitionLetters, vol 7, no.1,pp 37-44,1988. ↩︎
Yuen,H. K. and Princen, J. and Illingworth, J. and Kittler,J..Comparative study of Houghtransform methods for circle finding. Image Vision Comput. 8 1,pp 71-77 (1990). ↩︎

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