非线性系统【二】Lyapunov稳定性

2024-05-10 08:29:14

非线性系统【二】Lyapunov稳定性

定义4.1

对于平衡方
x˙=f(x)\dot{x}=f(x) x˙=f(x)
的平衡点x=0x=0x=0

如果对于每个ϵ>0\epsilon >0ϵ>0都存在δ=δ(ϵ)\delta=\delta(\epsilon)δ=δ(ϵ)，且满足∣∣x(0)∣∣<δ→∣∣x(t)∣∣<ϵ,∀t≥0||x(0)||<\delta \rightarrow ||x(t)||<\epsilon,\forall t\ge0∣∣x(0)∣∣<δ→∣∣x(t)∣∣<ϵ,∀t≥0,则该平衡点是稳定的。
如果不稳定，则该平衡点就是非稳定的。
如果稳定，且可选择适当的δ\deltaδ满足∣∣x(0)∣∣<δ→lim⁡t→inf⁡,x(t)=0{||x(0)||}<\delta \rightarrow \lim \limits{t \rightarrow \inf}, x(t)=0∣∣x(0)∣∣<δ→limt→inf,x(t)=0，则该平衡点是渐进稳定的A.S.

定理4.1 Lyapunov稳定性定理

设x=0x=0x=0是方程的一个平衡点，D⊂RnD\subset R^nD⊂Rn是包含原点的定义域。设V:D→RV:D\rightarrow RV:D→R是连续可微函数，如果有
V(0)=0,V(x)>0在D−{0}内V(0)=0,V(x)>0 在D-\{0\}内 V(0)=0,V(x)>0在D−{0}内
V(x)˙≤0在D内\dot{V(x)}\le0在D内 V(x)˙≤0在D内
那么原点x=0x=0x=0是稳定的，此外如果
V(x)˙<0在D−{0}内\dot{V(x)}<0在D-\{0\}内 V(x)˙<0在D−{0}内
原点x=0x=0x=0是渐进稳定的。A.S.

定理4.2

设x=0x=0x=0是方程的一个平衡点，V:Rn→RV:R^n\rightarrow RV:Rn→R是一个连续可微函数且满足
V(0)=0且V(x)>0,∀x≠0V(0)=0且V(x)>0,\forall x\ne0 V(0)=0且V(x)>0,∀x=0
∣∣x∣∣→∞⇒V(x)→∞||x||\rightarrow \infin \Rightarrow V(x)\rightarrow\infin ∣∣x∣∣→∞⇒V(x)→∞
V(x)˙<0,∀x≠0\dot{V(x)}<0,\forall x\ne 0 V(x)˙<0,∀x=0
那么x=0x=0x=0是全局渐进稳定的。G.A.S.

定理4.3

设x=0x=0x=0是方程的一个平衡点，V:Rn→RV:R^n\rightarrow RV:Rn→R是一个连续可微函数且满足V(0)=0V(0)=0V(0)=0且对于任意小∣∣x0∣∣||x_0||∣∣x0∣∣的某一点x0x_0x0有V(x0)>0V(x_0)>0V(x0)>0,定义一个集合U,U={X∈Br∣V(x)>0}U, U=\{X\in B_r|V(x)>0\}U,U={X∈Br∣V(x)>0},并假设U内有V(x)˙>0\dot{V(x)}>0V(x)˙>0,那么x就是非稳定平衡点。

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