前言

开始学习控制的时候觉得Lyapunov稳定性判定很普通，后来发现特别好用而且文章中稳定性判定使用频率很高，所以在这里作为学习笔记总结一下，主要是结合基本书上的知识进行汇总。

由于时间宝贵，并且书上的很详细，所以这里不自己敲打，只在最后做一些总结，这里直接黏贴图片来(仅作为学术交流使用，若侵权，马上删除，谢谢理解！)

1.PD、PSD、ND、NSD概念

首先，我们常用的Lyapunov稳定性判据指的是Lyapunov直接法，也叫Lyapunov第二法。而对于正负定的概念是其判定的基本定义，所以非常有必要熟悉。

注：

①PD：positive definite 正定，其它同理

②正定VS半正定区别：正定只能在平衡点时才有V(x) = 0，而半正定除了平衡点有V(x) = 0还有其他点。

③因为任何平衡点都可以通过坐标转换到0点，所以这里后面统一是讨论0点的稳定性。

④对于常见的二次型标量Lyapunov函数V(x) = x'*P*x正定的充要条件是 P > 0，即可通过西尔维斯特准则(Sylvester)：P的顺序主子式 > 0来快速判定。

2. Stable、asymptotic stability、Globalasymptotic stability

对于一个系统的稳定有三种情形：稳定的、渐进稳定的、全局渐进稳定的(或者说大范围渐近稳定)，这里给出两本书中的定义，其实都是一样的意思。

[1] Khalil H K . [Khalil] - Nonlinear Systems.pdf. 2002.

[2]张孝祖. 车辆控制理论基础及应用[M]. 化学工业出版社, 2007.

注：

①Lyapunov稳定性判据是充分条件，也就是说如果找不到这样的函数，不能说明系统是不稳定的。

②对于常见的Lyapunov函数是用能量或者误差二次型标量函数去定义，常见的滑模控制使用V = 1/2s^2，其中s是滑模面，因为我们希望系统落在滑模面，而1/2是系统，方便证明V' ≤ 0时使用；如果对于参数不定的系统在研究滑模不变性，还需要定义估计不确定项f^与标称项f的误差f~，即定义V = 1/2s^2+1/2(f~)^2

3.线性定常系统的稳定性分析

对于Lyapunov函数的寻找方法没有固定的形式，但是对于线性定常系统有一种固定寻找V(x)的方法：

这里推荐B站的DR_CAN 视频，很详细：

【Advanced控制理论】6_稳定性_李雅普诺夫_Lyapunov_哔哩哔哩_bilibili

【Advanced控制理论】12_非线性理论基础_Lyapunov直接方法_哔哩哔哩_bilibili

4. 滑模变结构的拉塞尔(Lasalle)不变性原理

[3]张袅娜. 终端滑模控制理论及应用[M]. 科学出版社, 2011.

5.比例积分滑模2自由度悬架仿真分析

未完待续......

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注：仅为便利自己学习，错误在所难免，如有侵权，请联系删除，有兴趣的学者可以参考学习交流，谢谢！

参考资料：

[1] Khalil H K . [Khalil] - Nonlinear Systems.pdf. 2002.

[2]张孝祖. 车辆控制理论基础及应用[M]. 化学工业出版社, 2007.

[3]张袅娜. 终端滑模控制理论及应用[M]. 科学出版社, 2011.

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