Lyapunov稳定性相关的理论

在控制理论中，经常遇到的几个关键词：
稳定性：
一致性：与初始时刻无关
渐近性：时间趋于无穷
鲁棒性：
可以对上述关键词前加修饰限定词：
渐近稳定性：
一致稳定性：
全局稳定性：
指数稳定性：指数是指收敛速度
全局渐近稳定、全局渐近一致稳定，等等。
随机稳定、依概率渐近稳定，等等，以后再添加。

基本概念

非线性系统可以用下式来描述¹：
x˙=f(x,t)(1)\dot{\boldsymbol{x}} = f(\boldsymbol{x}, t) \tag{1} x˙=f(x,t)(1)

式中，x∈Rnx \in \mathbb{R}^nx∈Rn为状态向量，f∈Rnf \in \mathbb{R}^nf∈Rn是非线性函数。初始条件为x(t0)=x0\boldsymbol{x} (t_0) = \boldsymbol{x}_0x(t0)=x0.
自治系统是指非线性系统的参数不显含时间变量ttt。考虑如下的一个自治系统：
x˙=f(x)(2)\dot{\boldsymbol{x}} = f(\boldsymbol{x}) \tag{2} x˙=f(x)(2)

其中，x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn\boldsymbol{x} = (x_1,x_2, ..., x_n)^T \in \mathbb{R}^nx=(x1,x2,...,xn)T∈Rn，f:D→Rnf:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}^nf:D→Rn是从定义域DDD到RnR^nRn上的局部Lipschitz映射，满足微分方程解的唯一性。

定义1： 如果系统状态满足x(t)=x∗\boldsymbol{x} (t) = \boldsymbol{x}^*x(t)=x∗，并且在该时间之后系统状态会一直在x∗\boldsymbol{x}^*x∗处保持不变，则称x∗\boldsymbol{x}^*x∗是系统的一个平衡点。

定义2： 给定∀R>0\forall R > 0∀R>0，如果存在r>0r > 0r>0，使得当∥x(t)∥<R,t>0\left \| \boldsymbol{x} (t) \right \| < R, t > 0∥x(t)∥<R,t>0，则x=0\boldsymbol{x} = 0x=0为系统的稳定的平衡点。对于稳定的平衡点，如果x(t)→0,t→∞\boldsymbol{x}(t) \rightarrow 0, t \rightarrow \infinx(t)→0,t→∞，则平衡点是渐进稳定的。如果存在α>0,λ>0\alpha > 0, \lambda >0α>0,λ>0使下式在平衡点的邻域内成立：
∥x(t)∥<α,∥x(t0)∥<e−λt,∀t>t0\left \| \boldsymbol{x} (t) \right \| < \alpha, \left \| \boldsymbol{x} (t_0) \right \| < e^{-\lambda t}, \forall t > t_0 ∥x(t)∥<α,∥x(t0)∥<e−λt,∀t>t0

则称平衡点是指数稳定的。如果r=Rr = \mathbb{R}r=R且系统满足渐近（指数）稳定，则平衡点x=0\boldsymbol{x} = 0x=0是全局渐近（指数）稳定的。（对这一块存疑！）

定义3： 如果一个连续标量函数V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)满足V(0)=0V(0)=0V(0)=0，且x≠0⇒V(x)>0\boldsymbol{x} \neq 0 \Rightarrow V(\boldsymbol{x}) > 0x=0⇒V(x)>0，则V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)是局部正定的。如果上述性质在整个状态空间成立，则V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)是全局正定的。如果V(0)=0,x≠0⇒V(x)≥0V(0)=0, \boldsymbol{x} \neq 0 \Rightarrow V(\boldsymbol{x}) \geq 0V(0)=0,x=0⇒V(x)≥0，则V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)是半正定的。
使用相似的规则可以得到负定和半负定函数的定义。此外，如果∥x∥→∞\left \| \boldsymbol{x} \right \| \rightarrow \infin∥x∥→∞时，V(x)→∞V(\boldsymbol{x}) \rightarrow \infinV(x)→∞，则称函数V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)是径向无界的。

定义4： 对于一个动态系统，如果从集合Ω\OmegaΩ中某点出发的轨线永远在Ω\OmegaΩ中，则称Ω\OmegaΩ是这个动态系统的不变集。

定义5： 对于一个方阵H=(hij)n×n\boldsymbol{H} = (h_{ij})_{n \times n}H=(hij)n×n，如果H=HT\boldsymbol{H} = \boldsymbol{H}^TH=HT，即hij=hjih_{ij} = h_{ji}hij=hji，则H\boldsymbol{H}H为对称矩阵；反之，如果H=−HT\boldsymbol{H} = - \boldsymbol{H}^TH=−HT，则H\boldsymbol{H}H为反对称矩阵。此外，如果对于x≠0\boldsymbol{x} \neq 0x=0，有xTHx>0\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{H} \boldsymbol{x} > 0xTHx>0成立，则矩阵H\boldsymbol{H}H为正定矩阵。如果H\boldsymbol{H}H对称正定，则满足：
λmin(H)∥x∥2≤xTHx≤λmax(H)∥x∥2\lambda_{min}(\boldsymbol{H}) \left \| \boldsymbol{x} \right \| ^2 \leq \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{H} \boldsymbol{x} \leq \lambda_{max}(\boldsymbol{H}) \left \| \boldsymbol{x} \right \| ^2 λmin(H)∥x∥2≤xTHx≤λmax(H)∥x∥2

定义6： 对于一个连续时间线性系统x˙=Hx(t)\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{H} \boldsymbol{x}(t)x˙=Hx(t)，如果矩阵H\boldsymbol{H}H的所有特征值均含有负实部，则称矩阵H\boldsymbol{H}H是Hurwitz稳定的，并且存在一个对称正定矩阵P\boldsymbol{P}P，满足HTP+PH<0\boldsymbol{H}^T \boldsymbol{P} + \boldsymbol{P} \boldsymbol{H} < 0HTP+PH<0。

定理1： （Lyapunov定理）对于非线性系统(1)(1)(1)，如果存在一个定义在原点邻域U0⊂UU_0 \subset UU0⊂U内的正定标量函数V(x)>0V(\boldsymbol{x}) > 0V(x)>0，且V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)一阶连续可导，其导数V˙(x)\dot{V} (\boldsymbol{x})V˙(x)在U0U_0U0内半负定，那么原点x=0\boldsymbol{x} = 0x=0是Lyapunov稳定的，称V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)为Lyapunov函数。如果V˙(x)\dot{V} (\boldsymbol{x})V˙(x)在U0U_0U0内是负定的，那么系统在x=0\boldsymbol{x} = 0x=0处是局部渐近稳定稳定的。如果将邻域U0U_0U0扩充到整个状态空间，即U0=U=RU_0 = U = \mathbb{R}U0=U=R，则系统在x=0\boldsymbol{x} = 0x=0处是全局渐近稳定的。

定理2： （LaSalle不变集原理）对于非线性自治系统(2)(2)(2)，f(x)f(\boldsymbol{x})f(x)是连续函数，V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)具有一阶连续偏导数且径向无界。存在一个正数c>0c > 0c>0，通过V(x)<cV(\boldsymbol{x}) < cV(x)<c可以定义一个有界区域UcU_cUc，且对于∀x∈Uc\forall \boldsymbol{x} \in U_c∀x∈Uc，均有V˙(x)≤0\dot{V} (\boldsymbol{x}) \leq 0V˙(x)≤0。记U0U_0U0为所有满足V˙(x)=0\dot{V} (\boldsymbol{x}) = 0V˙(x)=0的点的集合，U1U_1U1为U0U_0U0中最大的不变集，则当t→∞t \rightarrow \infint→∞时，系统的状态将全局收敛于U1U_1U1。

定理3： （Schur补定理）对于对称分块矩阵H\boldsymbol{H}H：
H=[H11H12H21H22]\boldsymbol{H} = \left[ \begin{array}{l} \boldsymbol{H}_{11} & \boldsymbol{H}_{12} \\ \boldsymbol{H}_{21} & \boldsymbol{H}_{22} \end{array} \right] H=[H11H21H12H22]

式中，矩阵H11\boldsymbol{H}_{11}H11和H22\boldsymbol{H}_{22}H22为方阵，H21=H12T\boldsymbol{H}_{21} = \boldsymbol{H}_{12}^TH21=H12T。当满足下列条件时，矩阵H\boldsymbol{H}H是正定的：
{H11−H12H22−1H21>0,H22>0H22−H21H11−1H12>0,H11>0\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{H}_{11} - \boldsymbol{H}_{12} \boldsymbol{H}_{22}^{-1} \boldsymbol{H}_{21} &> 0, \boldsymbol{H}_{22} > 0 \\ \boldsymbol{H}_{22} - \boldsymbol{H}_{21} \boldsymbol{H}_{11}^{-1} \boldsymbol{H}_{12} &> 0, \boldsymbol{H}_{11} > 0 \end{aligned} \right. {H11−H12H22−1H21H22−H21H11−1H12>0,H22>0>0,H11>0

引理1： 如果存在ϵ1>0\epsilon_1 > 0ϵ1>0，ϵ2>0\epsilon_2 > 0ϵ2>0，0<ρ<10 < \rho < 10<ρ<1，则下式成立：
(ϵ1+ϵ2)ρ≤ϵ1ρ+ϵ2ρ(\epsilon_1 + \epsilon_2)^{\rho} \leq \epsilon_1^{\rho} + \epsilon_2^{\rho} (ϵ1+ϵ2)ρ≤ϵ1ρ+ϵ2ρ

引理2： 对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]T∈Rn\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]^T \in \mathbb{R}^nx=[x1,x2,...,xn]T∈Rn，存在0<ρ<20 < \rho < 20<ρ<2，使得下式成立：
∥x∥ρ≤Σi=1n∣(xi)∣ρ\left \| \boldsymbol{x} \right \| ^{\rho} \leq \Sigma_{i = 1} ^n |(\boldsymbol{x}_i)|^{\rho} ∥x∥ρ≤Σi=1n∣(xi)∣ρ

以上两个引理不是柯西不等式的推广形式吗？

引理3： (Barbalat引理) 若函数f(t)f(t)f(t)在t∈[0,∞)t \in \left [ 0, \infin \right )t∈[0,∞)上一阶连续可导，且极限lim⁡t→∞f(t)\lim_{t \rightarrow \infin} f(t)limt→∞f(t)存在，且对任意的t∈[0,∞)t \in \left [ 0, \infin \right )t∈[0,∞)，f˙(t)\dot{f}(t)f˙(t)均一致连续，则lim⁡t→∞f˙(t)=0\lim_{t \rightarrow \infin} \dot{f}(t) = 0limt→∞f˙(t)=0。

引理4： f(t)f(t)f(t)在t∈[0,∞)t \in \left [ 0, \infin \right )t∈[0,∞)上一阶连续，且∃p∈[1,∞)\exists p \in \left [1, \infin \right )∃p∈[1,∞)，使得f(t),f˙(t)∈L∞f(t), \dot{f}(t) \in L_{\infin}f(t),f˙(t)∈L∞，f˙(t)∈Lp\dot{f}(t) \in L_pf˙(t)∈Lp，则lim⁡t→∞f(t)=0\lim_{t \rightarrow \infin} f(t) = 0limt→∞f(t)=0，其中：
Lp={x∣x:[1,∞),(∫0∞∣x(t)∣pdt)1/p<∞}L_p = \left \{ x \mid x: \left [1, \infin \right ), \left ( \int_0^{\infin}|x(t)|^p dt \right )^{1/p} < \infin \right \} Lp={x∣x:[1,∞),(∫0∞∣x(t)∣pdt)1/p<∞}

这个有点没看懂哇

有限时间稳定理论

定义7： （有限时间稳定性）存在一个连续函数T(x):U0∖{0}→(0,+∞)\boldsymbol{T} (\boldsymbol{x}): U_0 \setminus \{ 0 \} \rightarrow (0, + \infin)T(x):U0∖{0}→(0,+∞)，使得当t∈[0,T(x0)]t \in [0, \boldsymbol{T} (\boldsymbol{x}_0)]t∈[0,T(x0)]时，有lim⁡t→T(x0)x(t,x0)=0\lim_{t \rightarrow \boldsymbol{T} (\boldsymbol{x}_0)} \boldsymbol{x} (t, \boldsymbol{x}_0) = 0limt→T(x0)x(t,x0)=0。当t>T(x0)t > \boldsymbol{T} (\boldsymbol{x}_0)t>T(x0)后，系统状态一直处于平衡点，即x(t,x0)=0\boldsymbol{x} (t, \boldsymbol{x}_0) = 0x(t,x0)=0。当U0=U=RnU_0 = U = \mathbb{R}^nU0=U=Rn，系统是全局有限时间收敛的。

有限时间稳定性理论常用方法有：最小能量法、最优控制理论、齐次性理论、Lyapunov稳定性理论等。

引理5： （Lyapunov有限时间稳定理论）假定存在一个连续正定的函数V(x):Rn→RV(\boldsymbol{x}): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}V(x):Rn→R，满足下式：
V˙(x)+α1V(x)+α2Vα(x)≤0,x∈U0∖{0},U0∈U\dot{V} (\boldsymbol{x}) + \alpha_1 V(\boldsymbol{x}) + \alpha_2 V^{\alpha} (\boldsymbol{x}) \leq 0, \boldsymbol{x} \in U_0 \setminus \{ 0 \}, U_0 \in U V˙(x)+α1V(x)+α2Vα(x)≤0,x∈U0∖{0},U0∈U

式中，α1>0\alpha_1 > 0α1>0，α2>0\alpha_2 > 0α2>0，0<α<20 < \alpha < 20<α<2。则系统(1)(1)(1)是有限时间稳定的，收敛时间满足：
tf≤t0+1α1(1−α)ln⁡α1V1−α(x0)+α2α2t_f \leq t_0 +\frac{1}{\alpha_1 (1 - \alpha)} \ln \frac{\alpha_1 V^{1 - \alpha} (\boldsymbol{x}_0) + \alpha_2}{\alpha_2} tf≤t0+α1(1−α)1lnα2α1V1−α(x0)+α2

如果U0=U=RnU_0 = U = \mathbb{R}^nU0=U=Rn，则上述结论可以扩充至Rn\mathbb{R}^nRn全集，即称系统在x=0\boldsymbol{x} = 0x=0处是全局有限时间稳定的。

注释：不止这一种Lyapunov有限时间稳定方法。

参考文献

1. 张剑桥. 航天器姿轨一体化建模与控制方法研究[D].哈尔滨工业大学,2020.

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