正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/113/problem/2

题目大意

一个空序列，每次往末尾加入一个[1,m][1,m][1,m]中的随机一个数。如果末尾两个数相同都为xxx且(x<t)(x<t)(x<t)，那么将它们合并成x+1x+1x+1。

如果序列长度为nnn且无法合并则结束，求序列期望和。

n,m∈[1,103],t∈[1,109]n,m\in[1,10^3],t\in[1,10^9]n,m∈[1,103],t∈[1,109]

解题思路

首先显然地t=min{n+m−1,t}t=min\{n+m-1,t\}t=min{n+m−1,t}。

之后考虑序列中的每一个位置可能的数，因为每种情况都有可能，所以我们需要算概率先，设pi,jp_{i,j}pi,j表示剩余iii个位置时出现jjj的概率，那么有pi,j=1m×[j≤m]+pi,j−12p_{i,j}=\frac1m\times [j\leq m]+p_{i,j-1}^2pi,j=m1×[j≤m]+pi,j−12（直接出现或者合并出来）。

设pi,j×qi,jp_{i,j}\times q_{i,j}pi,j×qi,j表示剩下iii个位置且第一个最终是jjj的概率，那么有qi,j=1−pi−1,j×[j<t]q_{i,j}=1-p_{i-1,j}\times [j<t]qi,j=1−pi−1,j×[j<t]（qi,jq_{i,j}qi,j就表示在出现了jjj的前提下不变的概率，减去会变的概率就好了）。

但是因为每个位置的概率不是独立的，所以不能直接用这个来算答案。

设pi,j×gi,jp_{i,j}\times g_{i,j}pi,j×gi,j表示在剩下iii个位置且第一个最终是jjj时和的期望和（注意期望=概率*次数），pi,j×fi,jp_{i,j}\times f_{i,j}pi,j×fi,j表示剩下iii个位置时第一个出现过jjj的情况的期望和，ansians_iansi表示剩下iii个位置时的期望和。

那么有
ansi=∑j=1tpi,j×gi,jans_i=\sum_{j=1}^{t}p_{i,j}\times g_{i,j}ansi=j=1∑tpi,j×gi,j

考虑ggg的递推式有
gi,j=qi,j×j+ansi−1−pi−1,j×fi−1,jg_{i,j}=q_{i,j}\times j+ans_{i-1}-p_{i-1,j}\times f_{i-1,j}gi,j=qi,j×j+ansi−1−pi−1,j×fi−1,j
（有qi,jq_{i,j}qi,j的概率最终是jjj，填完剩下的，且下一个不能出现jjj）
考虑fff的递推式有
fi,j=gi,j+(1−qi,j)fi,j+1f_{i,j}=g_{i,j}+(1-q_{i,j})f_{i,j+1}fi,j=gi,j+(1−qi,j)fi,j+1
（第一种是最终不变，第二种是变成了j+1j+1j+1的情况）

这样就可以递推了，时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+7;
ll n,m,t,p[N][N],q[N][N],g[N][N],f[N][N],ans[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);ll inv=power(m,P-2);t=min(t,n+m-1);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=t;j++){p[i][j]=(inv*(j<=m)+p[i-1][j-1]*p[i][j-1]%P)%P;q[i][j]=(1-(j<t)*p[i-1][j]+P)%P;}for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=t;j>=1;j--){if(j!=t)g[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1]-f[i-1][j]*p[i-1][j]%P+P)%P;elseg[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1])%P;f[i][j]=(g[i][j]%P+(1-q[i][j])*f[i][j+1]%P)%P;(ans[i]+=g[i][j]*p[i][j])%=P;}}printf("%lld\n",ans[n]);return 0;
}

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Ybt#452-序列合并【期望dp】

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