#6229. 这是一道简单的数学题（反演 + 杜教筛）

#6229. 这是一道简单的数学题

推式子

∑i=1n∑j=1ilcm(i,j)gcd(i,j)=(∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)gcd(i,j)+n)∗inv2所以重点求∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)gcd(i,j)=∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)2=∑d=1n∑i=1nd∑j=1ndij(gcd(i,j)==1)=∑d=1n∑k=1ndμ(k)k2(∑i=1nkdi)2我们另t=kd，得到∑t=1n(∑i=1nti)2∑k∣tμ(k)k2接下来就是考虑如何在非线性的时间内筛选出∑k∣tμ(k)k2的前缀和来我们设f(n)=(μid2∗I)(n)，也就是∑k∣tμ(k)k2的卷积形式。g(n)=id2,显然有f(n)∗g(n)=μid2∗I∗id2μid2∗id2=∑d∣nμ(d)d2(nd)2=n2ϵ=ϵ所以有f(n)∗g(n)=I套进杜教筛里面去得到S(n)=∑i=1nI−∑d=2nd2S(nd)\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{i} \frac{lcm(i, j)}{gcd(i, j)}\\ = (\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \frac{lcm(i, j)}{gcd(i, j)} + n) * inv2\\ 所以重点求\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \frac{lcm(i, j)}{gcd(i, j)}\\ = \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \frac{ij}{gcd(i, j) ^ 2}\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}}ij (gcd(i, j) == 1)\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \sum_{k = 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(k) k ^ 2 (\sum_{i = 1} ^{\frac{n}{kd}} i) ^ 2\\ 我们另t = kd，得到\\ \sum_{t = 1} ^{n} (\sum_{i = 1} ^{\frac{n}{t}}i) ^ 2 \sum_{k \mid t} \mu(k) k ^ 2\\ 接下来就是考虑如何在非线性的时间内筛选出\sum_{k \mid t} \mu(k) k ^ 2的前缀和来\\ 我们设f(n) = (\mu\ id ^ 2 * I)(n)，也就是\sum_{k \mid t} \mu(k) k ^ 2的卷积形式。\\ g(n) = id ^ 2, 显然有f(n) * g(n) = \mu\ id ^ 2 * I * id ^ 2\\ \mu\ id ^ 2 * id ^ 2 = \sum_{d \mid n} \mu(d) d ^ 2 (\frac{n}{d}) ^ 2 = n ^ 2\epsilon = \epsilon\\ 所以有f(n) * g(n) = I\\ 套进杜教筛里面去得到S(n) = \sum_{i = 1} ^{n} I - \sum_{d = 2} ^{n} d ^ 2S(\frac{n}{d})\\ i=1∑nj=1∑igcd(i,j)lcm(i,j)=(i=1∑nj=1∑ngcd(i,j)lcm(i,j)+n)∗inv2所以重点求i=1∑nj=1∑ngcd(i,j)lcm(i,j)=i=1∑nj=1∑ngcd(i,j)2ij=d=1∑ni=1∑dnj=1∑dnij(gcd(i,j)==1)=d=1∑nk=1∑dnμ(k)k2(i=1∑kdni)2我们另t=kd，得到t=1∑n(i=1∑tni)2k∣t∑μ(k)k2接下来就是考虑如何在非线性的时间内筛选出k∣t∑μ(k)k2的前缀和来我们设f(n)=(μ id2∗I)(n)，也就是k∣t∑μ(k)k2的卷积形式。g(n)=id2,显然有f(n)∗g(n)=μ id2∗I∗id2μ id2∗id2=d∣n∑μ(d)d2(dn)2=n2ϵ=ϵ所以有f(n)∗g(n)=I套进杜教筛里面去得到S(n)=i=1∑nI−d=2∑nd2S(dn)

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"using namespace std;typedef long long ll;const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;const int mod = 1e9 + 7, N = 1e6 + 10, inv6 = 166666668, inv2 = 500000004;int prime[N], mu[N], cnt;ll sum[N];bool st[N];ll quick_pow(ll a, int n) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}void init() {mu[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {prime[cnt++] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0)   break;mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}for(int i = 1; i < N; i++) {for(int j = i; j < N; j += i) {sum[j] = (sum[j] + 1ll * i * i % mod * mu[i] % mod + mod) % mod;}}for(int i = 1; i < N; i++) {sum[i] = (sum[i] + sum[i - 1]) % mod;}
}ll calc1(ll n) {ll ans = 1ll * (1 + n) * n / 2 % mod;return 1ll * ans * ans % mod;
}ll calc2(ll n) {return 1ll * n * (n + 1) % mod * (2 * n + 1) % mod * inv6 % mod;
}unordered_map<int, int> ans_s;ll S(int n) {if(n < N) return sum[n];if(ans_s.count(n)) return ans_s[n];ll ans = n;for(ll l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ans = (ans - 1ll * (calc2(r) - calc2(l - 1) + mod) % mod * S(n / l) % mod + mod) % mod;}return ans_s[n] = ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);// cout << quick_pow(2, mod - 2) << endl;init();ll n, ans = 0;scanf("%lld", &n);for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ans = (ans + 1ll * calc1(n / l) * ((S(r) - S(l - 1) + mod) % mod) % mod) % mod;}printf("%lld\n", 1ll * (ans + n) * inv2 % mod);return 0;
}

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