POJ 2409 Let it Bead (Polya定理)

题意

用k种颜色对n个珠子构成的环上色，旋转翻转后相同的只算一种，求不等价的着色方案数。

思路

Polya定理

X是对象集合{1, 2, ……, n}，设G是X上的置换群，用M种颜色染N种对象，则不同的染色方案数为： λ(g)表示置换g的轮换个数，且λ(g) = λ1(g) + λn(g) + …… + λn(g)，其中λi(g)表示g中长度为i的轮换（循环）个数.

本题是对一个n个珠子的圆珠的颜色，而圆珠的置换群有： Ⅰ翻转：1.当n为奇数时，有n种翻转，每种翻转的轴都是一个顶点和该顶点对边中点的连线，有n种置换，每种置换的轮换个数均为(n/2+1)。 2.当n为偶数时，有n种翻转，其中n/2种转轴是两个对应顶点连线，轮换个数为n/2+1；另n/2种转轴是两条对边中点的连线，轮换个数为n/2。 Ⅱ旋转：枚举旋转角度360/n*i，有n种旋转；第i种旋转有gcd(n, i)个轮换，每个轮换的长度都是n/gcd(n, i)。 然后带入公式即可.

代码

[cpp] #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <set> #include <stack> #include <queue> #define MID(x,y) ((x+y)/2) #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define REP(i, begin, end) for (int i = begin; i <= end; i ++) using namespace std; int gcd(int a, int b){ return b?gcd(b, a%b):a; } int main(){ //freopen("test.in", "r", stdin); //freopen("test.out", "w", stdout); int c, s; while(scanf("%d %d", &c, &s) != EOF){ long long res = 0; if (c + s == 0) break; if (s % 2 == 1){ res += (long long)s * pow(c, s/2+1); } else{ res += (long long)(s/2) * (pow(c, s/2) + pow(c, s/2+1)); } for (int i = 1; i <= s; i ++){ res += (long long)pow(c, gcd(s, i)); } printf("%I64d\n", res/2/s); } return 0; } [/cpp]

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